スピントロニクス理論の基礎/8-9 のバックアップソース(No.4)

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* 8-9 不純物による電子散乱 [#q75a7950]

不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。
- 散乱により運動量が変化する
- 弾性的つまりエネルギーを変化させない
- 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である

これを表すポテンシャルは、

(8.106)

&math(V_i=\int d^3rv_i(\bm r,t)\hat n(\bm r,t));

(8.106A)

&math(v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ka^3\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k));

として、位置 &math(\bm R_k); に体積 &math(a^3); 高さ &math(v_i); 
のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、
その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。

&math(N_i); は不純物の数であり、個々の不純物は 
&math(k=1,2,\dots,N_i); のラベルで区別する。
(ラベルを &math(i); にすると紛らわしい)

ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで
そのフーリエ成分の &math(\bm k=\bm 0); の成分をゼロにしておくと、
後に便利である。(この性質は後で多用される)

(8.107)

&math(v_i(\bm r)=\sum_k^{N_i}v_ka^3\left(\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm R_k)-\frac{1}{V}\right));

&math(\int_V d^3r\delta^3(\bm r-\bm R_k)=\int_V d^3r / V = 1); に注意せよ。

(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。

(8.108)

&math([V_i(t),c(\bm r,t)]=-v_i(\bm r)c(\bm r,t));

この &math(H_i=H_0+V_i); に対する Green 関数 &math(g); は (8.105) より、

(8.109)

&math(
&g(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V_i(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)v_i(\bm r_1)g(\bm r_1,\tau_1,\bm r',\tau')\\
);

次元について:

- Green 関数は元々 &math(\hat n); すなわち電子数密度なので (1/体積) の次元を持つ。
- したがって、&math(d^3r g_0); で無次元
- &math(v_i); は (エネルギー) の次元で、&math(d\tau_1/\hbar); は (エネルギーの逆数) の次元
- したがって、&math(d\tau_1 v_i/\hbar); で無次元
- それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい
- すなわち &math(1/\hbar); が必要なのは間違いない

(8.66) および () より

(8.110)

&math(
&g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&=
g_0(\bm r,\tau \in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\rightarrow}d\tau_1\int d^3r_1
g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow)v_i(\bm r_1)
g(\bm r_1,\tau_1\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{C_\leftarrow}d\tau_1\int d^3r_1
g_0(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow)v_i(\bm r_1)
g(\bm r_1,\tau_1\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\
&=
g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_0}^{t_\infty} dt_1\int d^3r_1
g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_{t_\infty}^{t_0}dt_1\int d^3r_1
g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\\
&=
g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[
g_0^t(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
-g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^{\overline t}(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]
);

ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、

&math(g_0^t\,g^<-g_0^<\,g^{\overline t}=(g_0^r+g_0^<)g^<-g_0^<(-g^a+g^<)=g_0^r\,g^<+g_0^<\,g^a);

より、

(8.111)

&math(
&g^<(\bm r,t,\bm r',t')=g_0^<(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^<(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
+g_0^<(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]
);

同様にして、

(8.112)

&math(
&g^>(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^>(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\big[
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^>(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
+g_0^>(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]
);

(8.113)

&math(
&g^r(\bm r,t,\bm r',t') = g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')\\
&\hspace{4mm}+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1\theta(t-t')\big[
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
-g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')\big]\\
&= g_0^r(\bm r,t,\bm r',t')
+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1
g_0^r(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^r(\bm r_1,t_1,\bm r',t'));

&math(
&g^a(\bm r,t,\bm r',t')\\
&= g_0^a(\bm r,t,\bm r',t')
+\frac{1}{\textcolor{red}{\hbar}}\int dt_1\int d^3r_1
g_0^a(\bm r,t,\bm r_1,t_1)v_i(\bm r_1)g^a(\bm r_1,t_1,\bm r',t')
);

ここで (8.38) より &math(g_?^a(t,t')\propto \theta(t'-t)); および
&math(g_?^r(t,t')\propto \theta(t-t')); なので、
- &math(\theta(t-t')g_{\textcolor{red}{0}}^a(t,t_1)g^a(t_1,t')\propto\theta(t-t')\theta(\textcolor{red}{t_1-t})\theta(\textcolor{red}{t'-t_1})=0);~
- &math(\theta(t'-1)g_{\textcolor{red}{0}}^r(t,t_1)g^r(t_1,t')\propto\theta(t'-t)\theta(\textcolor{red}{t-t_1})\theta(\textcolor{red}{t_1-t'})=0);~
- &math(\theta(t-t')g_?^r(t,t')=g_?^r(t,t'));
- &math(\theta(t'-t)g_?^a(t,t')=g_?^a(t,t'));

を用いた。

&math(g^a); および &math(g^r); がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。

以上を省略形にまとめると、

- &math(G^<=g_0^<+(g_0^rVG^<+g_0^<VG^a));
- &math(G^>=g_0^<+(g_0^rVG^>+g_0^>VG^a));
- &math(G^r=g_0^r+g_0^rVG^r);
- &math(G^a=g_0^a+g_0^aVG^a);

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