スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ(No.4)

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9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2)

不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正

(9.28)

&math( &\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=

  • i \textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\ &\hspace{1.5cm} \phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2 \sum_{\bm k_1}\left[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \right]^< );

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り 近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

  • (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
  • (8.119) の不純物平均
  • (8.123) の実部は無視できるのか

くらい?

  1. (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
  2. (9.5) 式の g g_0 で展開した形に似ている
  3. それならなぜ (9.28) 式の g g_0 でないのか?
  4. この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに 気付かなかった?

あたりが疑問。

(9.4) 式の高次項ではない

(9.4) 式は \phi で展開しているので、高次項には \phi の2次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に \phi は1つしか入っていない。

(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている

(8.121) より、

&math( g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega}

  1. n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots );

この1項目と2項目とを掛け合わせると、 n_iv_i^2\sum gggg の項が出る。

&math( \left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^< );

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は g^rg^rg^rg^a g^rg^ag^ag^a の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の \rho_\phi^{(0)} に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。

なぜ (9.28) 式の g g_0 でないのか

上下に耳が生える過程を組み込むため?

これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった?

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。

上で見たとおり、(9.28) の項は v_i の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 1次の項を2つ掛けた物だ。

8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

不純物平均の前に戻ってみる

H=H_0+V_i+V_\phi=(H_0+V_i)+V_\phi=H_i+V_\phi と考えるのをやめて、
H=H_0+V_i+V_\phi=H_0+(V_i+V_\phi)=H_0+V として、8-10、8-11 を見直してみる。

V_\phi が入っているため、不純物平均を取る前までを考えると、 v(\bm q,\bm \Omega)=v_i(\bm q)+v_\phi(\bm q,\bm \Omega) として、

(8.117) は

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^a= 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^a+ \int \frac{\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} g_{0\bm k,\omega}^a v(\bm q,\Omega) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a );

(8.145) は

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<

  1. \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\big[
     g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<
    +g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a
    \big] );

となる。

ポテンシャルを3回含む項を評価する

この2つの式を使ってポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^< = \underline{2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<}

  1. \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
     &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<\\
    +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a\\
    &\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'} );

&math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)
 \Big(
   \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<}
   +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[
     g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\

&\hspace{9.8cm}

    +g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
   \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
 \Big)\\
+&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)
 \Big(
   \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a}
   +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, 
     g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
        \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
 \Big)

\Big] );

&math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\

&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'} );

同様にして、

&math( = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q',\bm q} \Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
     g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
     g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\

& \Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q,\bm k'} );

したがって、

0次:

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(0)} = \, & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<\\ = & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'} f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r)\\ );

1次:

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(1)} = \, &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^< \\

  1. &g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^a \\ =\,
    &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) \\
  2. &f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \\ =\,& v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) \Big[
    g_{0\bm k,\omega}^r  f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) 
  3. f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] );

2次:

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(2)} = \int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
     g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) 
     g_{0\bm k',\omega'}^a 

\Big] );

3次:

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(3)} = );

&math( \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
     g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

);

目的の項はどれか?

3回出てくる v=v_i+v_\phi を展開する際、 v_i v_\phi のどちらを取るかで様々な項が出るが、 不純物平均により v_i は複数の打ち消し合う \bm q の組を作るように取らないとゼロになるため、 v_\phi v_i が両方出てくる項は3次が最低次になる。

そのような3次の項は、

  1. v_i\cdot v_i\cdot v_\phi
  2. v_i\cdot v_\phi\cdot v_i
  3. v_\phi\cdot v_i\cdot v_i

の3つの場合が考えられるが、このうち1番目と3番目は上の (9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている で見たように (9.26) に含まれている。

そこで、今取り入れたいのは2番目の形で、

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = );

&math( \int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} \Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
     g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

);

である。

不純物平均を入れる

不純物平均により \bm q+(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')=\bm 0 が要求されるため、

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = );

&math( \frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =

);

&math( \frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} \Big[

 &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =

);

下線部は打ち消し合うため、

&math( g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} = );

&math( \frac{n_iv_i^2}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm q} \Big[

-&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\
+&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
-&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
+&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
     g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]

);

この式の変数を適当に書き換えると (9.29) と似た式が出てくる。

g0 を g に書き換える

そして、その g_0 g に書き換えると (9.29) になる。

ただ、恐らく教科書の式では上記の 1/N の因子が抜けている。

ファインマン図の意味

上と下は v_\phi と相互作用する前後のωの異なる部分で、 その間に打ち消し合う2つの q があることを表す図になっているわけか。

補正項を評価する

ようやく教科書を読み進められる。

(9.29)

&math( \rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)\,&=

  • i\textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int\frac{d\omega}{2\pi} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{i\Omega t} \phi(\bm q,\Omega) n_iv_i^2 \\ & \times \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} + f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\ & \hspace{3cm} - f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} g_{\bm k -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r\, g_{\bm k +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r \Big] );

和の部分を略記すると、

&math( \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[ \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\

  1. f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^a\, g_{\bm k_1-}^a\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\
  • f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm} & g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^r\, g_{\bm k +}^r \Big] );

括弧内は g^rg^rg^ag^a の項が支配的で、 g^ag^ag^ag^a g^rg^rg^rg^r の項は小さいと書かれているが、 まだ納得はいっていない。

恐らく (9.8-1) と (9.8-2) との比較と同様の話になるのだと思うけれど、後で見直す。

支配的と言われる項は、

(9.30)

&math( &\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle \Big( f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)-f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)) \Big) g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \Omega f'(\omega) \, g_{\bm k -}^r\, g_{\bm k_1-}^r\, g_{\bm k_1+}^a\, g_{\bm k +}^a \\ & = \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} \Omega \, g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\, g_{\bm k +,0+}^a \\ & = \Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} g_{\bm k_1-,0-}^r\, g_{\bm k_1+,0+}^a\ \\ & = \Omega g_{\bm k -,0-}^r\, g_{\bm k +,0+}^a I_{\bm q,\Omega} );

となって、これは (9.8) に I_{\bm q,\Omega} の掛かった項となる。

したがって、

(9.32)

&math( &\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=

  • \textcolor{red}{\frac{e^{2}}{a^3}} \nu(0) \sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi} e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \ \phi(\bm q,\Omega)\Big(1-i\Omega\tau(1+n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega})\Big) );

(9.33)〜(9.37) は (9.8) のところで既にやった。
というか、まるっきり天下りで与えられていた結果の説明がこんなところに出てきたか、という感じ。

\bm q,\Omega の1次までで打ち切るという近似の物理的意味についてのコメントだけ拾いたい。

&math( \varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}=\varepsilon_{\bm k}+\left[2\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+ \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{q}{2}\right)^2\right]\equiv \varepsilon_{\bm k}+\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}} );

を使うと、

(9.33)

&math( g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r =g_+^r &=\frac{1}{\hbar(\omega+\Omega/2)-\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{\hbar\omega+\hbar\Omega/2-\varepsilon_{\bm k}-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\ &=\frac{1}{1/g_+^r-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2}\\ &=g_+^r\frac{1}{1+g_+^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)}\\ );

(以下勉強中)


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