スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップソース(No.4)

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#contents

* 9-1 スカラー場により誘起される電荷密度 (2) [#xc6258a9]

** 不純物散乱の効果を正しく取り込む : vertex 補正 [#b95dc7da]

(9.28)

&math(
&\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
-i \textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}}
\sum_{\bm k,\bm q} \int \frac{d\omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \times \\
&\hspace{1.5cm}
\phi(\bm q,\Omega)n_iv_i^2
\sum_{\bm k_1}\left[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \,
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\right]^<
);

この補正が出てくる理由が分からない。

(8.118) および (9.4J) を完全に評価する限り
近似は入っていないと思っていたのだけれど・・・

ここまで、近似というか、多少なりともごまかしが入ったのは

- (8.101), (8.101') で初期条件がおかしくなったこと
- (8.119) の不純物平均
- (8.123) の実部は無視できるのか

くらい?

+ (9.28) の項は (9.4) 式の高次項ではない
+ (9.5) 式の &math(g); を &math(g_0); で展開した形に似ている
+ それならなぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか?
+ この項は (8.118) や (9.4J) の導出中に行われた近似で落とされていたのに
気付かなかった?

あたりが疑問。

*** (9.4) 式の高次項ではない [#p67bd30c]

(9.4) 式は &math(\phi); で展開しているので、高次項には
&math(\phi); の2次以上が含まれるはずだが、
(9.28) に &math(\phi); は1つしか入っていない。

*** (9.5) 式の g を g__0__ で展開した形に似ている [#v20961b6]

(8.121) より、

&math(
g^\alpha_{\bm k,\omega} 
= g^\alpha_{0\bm k,\omega}
+ n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} 
g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots
);

この1項目と2項目とを掛け合わせると、
&math(n_iv_i^2\sum gggg); の項が出る。

&math(
\left[ 
g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \,
g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
\right]^<
);

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は &math(g^rg^rg^rg^a); や &math(g^rg^ag^ag^a); 
の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の &math(\rho_\phi^{(0)}); 
に含まれている、上下どちらかに1つ耳の生えたタイプということで、
改めて組み込む必要は無いということだと思う。

*** なぜ (9.28) 式の &math(g); は &math(g_0); でないのか [#ofea7977]

上下に耳が生える過程を組み込むため?

*** これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった? [#zcbdb89d]

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう?・・・不純物平均のところか。

上で見たとおり、(9.28) の項は &math(v_i); 
の2次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、
1次の項を2つ掛けた物だ。

8-10 では1次の項は不純物平均により消えるとされたけど、
ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

*** 不純物平均の前に戻ってみる [#e363db89]

&math(H=H_0+V_i+V_\phi=(H_0+V_i)+V_\phi=H_i+V_\phi); と考えるのをやめて、~
&math(H=H_0+V_i+V_\phi=H_0+(V_i+V_\phi)=H_0+V); として、8-10、8-11 を見直してみる。

&math(V_\phi); が入っているため、不純物平均を取る前までを考えると、
&math(v(\bm q,\bm \Omega)=v_i(\bm q)+v_\phi(\bm q,\bm \Omega)); として、

(8.117) は

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^a=
2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^a+
\int \frac{\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q} g_{0\bm k,\omega}^a v(\bm q,\Omega) g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a
);

(8.145) は

&math(
&g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<
+\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\big[
  g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<
 +g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a
\big]
);

となる。

*** ポテンシャルを3回含む項を評価する [#zc361af1]

この2つの式を使ってポテンシャルを3回含む項を取り出してみる。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<
= 
\underline{2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<}
+\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega+\Omega,\omega'}^a\\
&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}
);

&math(
=
\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm q}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm q,\Omega)
  \Big(
    \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^<}
    +\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q'}\Big[
      g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^rv(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
&\hspace{9.8cm}
     +g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^<v(\bm q',\Omega')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
    \Big]\\ &\hspace{10cm}\cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
  \Big)\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm q,\Omega)
  \Big(
    \underline{2\pi\delta(\omega+\Omega-\omega')\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a}
    +\int \frac{\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q'}\ \ \, 
      g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a
         \\&\hspace{10cm} \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
  \Big)
\Big] 
);

&math(
=
\int \frac{d\Omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega'}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q'}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a\\
&\Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}
);

同様にして、

&math(
=
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \int \frac{d\Omega''}{2\pi}\sum_{\bm q,\bm q',\bm q''} \Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^r v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^< v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
      g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega+\Omega',\omega'}^a v(\bm q'',\Omega'')
      g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega+\Omega'+\Omega'',\omega'}^a \\
& \Big] \cdot 2\pi\delta(\omega+\Omega+\Omega'+\Omega''-\omega')\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}
);

したがって、

0次:

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(0)} = \,
& 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\omega}^<\\
= & 2\pi\delta(\omega-\omega')\delta_{\bm k,\bm k'} f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r)\\
);

1次:

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(1)} = \,
&g_{0\bm k,\omega}^rv(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^< \\
+&g_{0\bm k,\omega}^<v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega)g_{0\bm k',\omega'}^a \\
=\,
 &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) \\
+&f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) g_{0\bm k',\omega'}^a \\
=\,& v(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) \Big[ 
 g_{0\bm k,\omega}^r  f(\omega') (g_{\bm k',\omega'}^a-g_{\bm k',\omega'}^r) 
+f(\omega) (g_{\bm k,\omega}^a-g_{\bm k,\omega}^r) g_{0\bm k',\omega'}^a 
\Big]
);

2次:

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(2)} =
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \sum_{\bm q}\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
      g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega)
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q,\omega'-\omega-\Omega) 
      g_{0\bm k',\omega'}^a 
\Big]
);

3次:

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(3)} =
);

&math(
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^r v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^r v(\bm q',\Omega')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^< v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^< v(\bm q',\Omega')
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v(\bm q,\Omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega+\Omega}^a v(\bm q',\Omega') 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega+\Omega+\Omega'}^a v(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q',\omega'-\omega-\Omega-\Omega')
      g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);

*** 目的の項はどれか? [#bcfe7c6a]

3回出てくる &math(v=v_i+v_\phi); を展開する際、
&math(v_i); と &math(v_\phi); のどちらを取るかで様々な項が出るが、
不純物平均により &math(v_i); は複数の打ち消し合う &math(\bm q); 
の組を作るように取らないとゼロになるため、
&math(v_\phi); と &math(v_i); 
が両方出てくる項は3次が最低次になる。

そのような3次の項は、

+ &math(v_i\cdot v_i\cdot v_\phi);
+ &math(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i);
+ &math(v_\phi\cdot v_i\cdot v_i);

の3つの場合が考えられるが、このうち1番目と3番目は上の
[[(9.5) 式の g を g0 で展開した形に似ている>スピントロニクス理論の基礎/9-1B#v20961b6]]
で見たように (9.26) に含まれている。

そこで、今取り入れたいのは2番目の形で、

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =
);

&math(
\int \frac{d\Omega}{2\pi} \int \frac{d\Omega'}{2\pi} \sum_{\bm q,\bm q'} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^r v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^< v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm q',\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\omega'}^a v_i(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')
      g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);

である。

*** 不純物平均を入れる [#x8fe454a]

不純物平均により &math(\bm q+(\bm k'-\bm k-\bm q-\bm q')=\bm 0); が要求されるため、

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =
);

&math(
\frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r g_{0\bm k',\omega'}^<\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^< g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^< v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^< g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =
);

&math(
\frac{n_iv_i^2}{N} \sum_{\bm q} 
\Big[
  &g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') \big( \underline{g_{0\bm k',\omega'}^a} - g_{0\bm k',\omega'}^r \big)\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      f(\omega')\big( g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a - \underline{g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r} \big) g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) \big( \underline{g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a} - g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r \big) v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&f(\omega)\big( g_{0\bm k,\omega}^a - \underline{g_{0\bm k,\omega}^r} \big) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big] =
);

下線部は打ち消し合うため、

&math(
g_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<{}^{(v_i\cdot v_\phi\cdot v_i)} =
);

&math(
\frac{n_iv_i^2}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm q} 
\Big[
 -&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^r f(\omega') g_{0\bm k',\omega'}^r \\
 +&g_{0\bm k,\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      f(\omega') g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 -&g_{0\bm k,\omega}^r f(\omega) g_{0\bm k+\bm q,\omega}^r v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a\\
 +&f(\omega) g_{0\bm k,\omega}^a g_{0\bm k+\bm q,\omega}^a v_\phi(\bm k'-\bm k,\omega'-\omega) 
      g_{0\bm k'+\bm q,\omega'}^a g_{0\bm k',\omega'}^a \Big]
);

この式の変数を適当に書き換えると (9.29) と似た式が出てくる。

*** g__0__ を g に書き換える [#yb3b4b14]

そして、その &math(g_0); を &math(g); に書き換えると (9.29) になる。

ただ、恐らく教科書の式では上記の &math(1/N); の因子が抜けている。

*** ファインマン図の意味 [#l37bb59f]

上と下は &math(v_\phi); と相互作用する前後のωの異なる部分で、
その間に打ち消し合う2つの q があることを表す図になっているわけか。

** 補正項を評価する [#gf4c2103]

ようやく教科書を読み進められる。

(9.29)

&math(
\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)\,&=
-i\textcolor{red}{\frac{e^{2}\hbar}{a^3}\frac{1}{N}} \sum_{\bm k,\bm q} \int\frac{d\omega}{2\pi} \int\frac{d\Omega}{2\pi}
e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{i\Omega t} \phi(\bm q,\Omega) n_iv_i^2
\\ &
\times \frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[
\Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) 
g_{\bm k  -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\,
g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\,
g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\,
g_{\bm k  +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a
\\ & 
\hspace{3cm} + f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm}
g_{\bm k  -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\,
g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^a\,
g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a\,
g_{\bm k  +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a
\\ & 
\hspace{3cm} - f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm}
g_{\bm k  -\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\,
g_{\bm k_1-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^r\,
g_{\bm k_1+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r\,
g_{\bm k  +\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r
\Big]
);

和の部分を略記すると、

&math(
\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \textstyle \sum_{\bm k_1} \Big[
\Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) 
&
g_{\bm k  -}^r\,
g_{\bm k_1-}^r\,
g_{\bm k_1+}^a\,
g_{\bm k  +}^a
\\ 
+ f(\omega+\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm}
&
g_{\bm k  -}^a\,
g_{\bm k_1-}^a\,
g_{\bm k_1+}^a\,
g_{\bm k  +}^a
\\ 
- f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \hspace{1.2cm}
&
g_{\bm k  -}^r\,
g_{\bm k_1-}^r\,
g_{\bm k_1+}^r\,
g_{\bm k  +}^r
\Big]
);

括弧内は &math(g^rg^rg^ag^a); の項が支配的で、
&math(g^ag^ag^ag^a); や &math(g^rg^rg^rg^r); の項は小さいと書かれているが、
まだ納得はいっていない。

恐らく (9.8-1) と (9.8-2) との比較と同様の話になるのだと思うけれど、後で見直す。

支配的と言われる項は、

(9.30)

&math(
&\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle 
\Big( f(\omega+\frac{\Omega}{2})-f(\omega-\frac{\Omega}{2}) \Big) 
g_{\bm k  -}^r\,
g_{\bm k_1-}^r\,
g_{\bm k_1+}^a\,
g_{\bm k  +}^a
\\ & =
\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \textstyle 
\Big( f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)-f(\omega)+\frac{\Omega}{2}f'(\omega)) \Big) 
g_{\bm k  -}^r\,
g_{\bm k_1-}^r\,
g_{\bm k_1+}^a\,
g_{\bm k  +}^a
\\ & =
\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \int\frac{d\omega}{2\pi} \sum_{\bm k_1} \Omega f'(\omega) \, 
g_{\bm k  -}^r\,
g_{\bm k_1-}^r\,
g_{\bm k_1+}^a\,
g_{\bm k  +}^a
\\ & =
\frac{1}{\textcolor{red}{N}} \sum_{\bm k_1} \Omega \, 
g_{\bm k  -,0-}^r\,
g_{\bm k_1-,0-}^r\,
g_{\bm k_1+,0+}^a\,
g_{\bm k  +,0+}^a
\\ & =
\Omega 
g_{\bm k  -,0-}^r\,
g_{\bm k  +,0+}^a
\frac{1}{\textcolor{red}{N}} 
\sum_{\bm k_1}
g_{\bm k_1-,0-}^r\,
g_{\bm k_1+,0+}^a\
\\ & =
\Omega 
g_{\bm k  -,0-}^r\,
g_{\bm k  +,0+}^a
I_{\bm q,\Omega} 
);

となって、これは (9.8) に &math(I_{\bm q,\Omega}); の掛かった項となる。

したがって、

(9.32)

&math(
&\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(1)}(\bm r,t)=
- \textcolor{red}{\frac{e^{2}}{a^3}} \nu(0)
\sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi}
e^{-i\bm q\cdot \bm r}e^{i\Omega t} \ 
\phi(\bm q,\Omega)\Big(1-i\Omega\tau(1+n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega})\Big)
);

(9.33)〜(9.37) は (9.8) のところで既にやった。~
というか、まるっきり天下りで与えられていた結果の説明がこんなところに出てきたか、という感じ。

&math(\bm q,\Omega); の1次までで打ち切るという近似の物理的意味についてのコメントだけ拾いたい。

&math(
\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}=\varepsilon_{\bm k}+\left[2\cdot\frac{\hbar^2}{2m}\bm k\cdot\frac{\bm q}{2}+
\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{q}{2}\right)^2\right]\equiv \varepsilon_{\bm k}+\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}
);

を使うと、

(9.33)

&math(
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^r
=g_+^r
&=\frac{1}{\hbar(\omega+\Omega/2)-\varepsilon_{\bm k+\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\
&=\frac{1}{\hbar\omega+\hbar\Omega/2-\varepsilon_{\bm k}-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+i\delta_\varepsilon}\\
&=\frac{1}{1/g_+^r-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2}\\
&=g_+^r\frac{1}{1+g_+^r(-\Delta\varepsilon_{\frac{\bm q}{2}}+\hbar\Omega/2)}\\
);

(以下勉強中)

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