スピントロニクス理論の基礎/9-2 のバックアップ差分(No.2)

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#contents

* 9-2 スカラー場により誘起される電流密度 [#ib218595]

** 電流密度を lesser Green 関数で表す [#ce0af783]

(8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う

&math(
\bm j(\bm r,t) 
\equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle 
\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
);

&math(
&= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
\\ &= 
\left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
\left[
\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<
\right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
\\ &= 
-\frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<
);

ここで以下の変数変換を行えば、

&math(\bm k\rightarrow\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k'\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2});

&math(\omega\rightarrow\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega'\rightarrow\omega+\frac{\Omega}{2});

&math(
\bm j(\bm r,t) &= 
-\frac{ie\hbar^2}{2mV}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2})
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
\\ &=
-\frac{i\hbar}{a^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m}
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
);

(以下勉強中)


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