スピントロニクス理論の基礎/X-3 のバックアップ差分(No.2)

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#contents

* X-3 δ関数 [#w1e3469a]

** 定義 [#d37a3ca3]

δ関数を解析関数の極限として定義する方法はいくつかあるみたいだけれど、
以下の定義は使い勝手が良いらしい。

&math(
\delta(x)=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}
);

と置くと、この関数はδ関数となる。

- &math(\delta(-x)=\delta(x));
- &math(
&math(\delta(-x)=\delta(x)); は自明。

&math(\int_a^b f(x)\delta(x)dx=f(0)); も、以下のようにして成り立つ。

&math(
&\int_a^b f(x)\delta(x)dx=\int_a^b f(x)\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\
&=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_a^b f(x)\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\
&=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t\delta)^2+\delta^2}d(t\delta)\\
&=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t^2+1)\delta^2}\cdot\delta dt\\
&=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{1}{t^2+1} dt\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} f(0)\frac{1}{t^2+1} dt\\
&=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} \frac{1}{t^2+1} dt\\
&=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{1}{(\tan \theta)^2+1} d(\tan \theta)\\
&=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{(\tan \theta)^2+1}{(\tan \theta)^2+1} d\theta\\
&=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} d\theta\\
&=\frac{1}{\pi}f(0)\frac{\pi}{2}[\mathrm{sgn}\,b-\mathrm{sgn}\,a]\\
&=\begin{cases}
0 & (0<a,b)\\
f(0) & (a<0,0<b)\\
0 & (a,b<0)\\
-f(0) & (b<0,0<a)\\
\end{cases}
);

** フーリエ変換・逆フーリエ変換 [#m357fd20]

&math(
\int_{-\infty}^\infty \delta(x)e^{-ikx}dx=e^{-ik\cdot 0}=1
);

は良いとして、逆フーリエ変換はちょっと工夫が必要。

&math(
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{ix k}dk
 +\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0 e^{ix k}dk\\
&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_0^\infty e^{(ix -\delta)k}dk
 +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{-\infty}^0 e^{(ix+\delta) k}dk \\
&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{ix -\delta}e^{(ix -\delta)k}\right]_0^\infty 
 +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{ix +\delta}e^{(ix +\delta)k}\right]_{-\infty}^0\\
&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix -\delta}(0-1)
 +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix +\delta}(1-0)\\
&=-\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix-\delta}
 +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix+\delta}\\
&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[-\frac{1}{ix-\delta}+\frac{1}{ix+\delta}\right]\\
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{-2\delta}{-x^2-\delta^2}\\
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2-\delta^2}\\
&=\delta(x)
);

正側と負側とでδを同時にゼロに近づけないと最後の答えにたどり着かないので、
その意味でこの積分は「主値」を取っていることになるのだと思う。

** δ関数の「半身」について [#z148ec40]

上記計算の途中に現われる表現を使うと、
逆フーリエ変換の上半分と下半分に現われるそれぞれの関数をそれぞれ別個に評価できる。

&math(
\delta(x)
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\\
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{1}{ix-\delta}+\frac{1}{ix+\delta}\right]\\
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[\frac{1}{x+i\delta}-\frac{1}{x-i\delta}\right]\\
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[\frac{x-i\delta}{x^2+\delta^2}-\frac{x+i\delta}{x^2+\delta^2}\right]\\
&=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[
   \left(\frac{x}{x^2+\delta^2}-\frac{i\delta}{x^2+\delta^2}\right)
  -\left(\frac{x}{x^2+\delta^2}+\frac{i\delta}{x^2+\delta^2}\right)\right]\\
&= \left(\frac{i}{2\pi x}+\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\right)
  -\left(\frac{i}{2\pi x}-\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\right)\\
&= \left(\frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x)\right)
  -\left(\frac{i}{2\pi x}-\frac{1}{2}\delta(x)\right)
);

したがって、

&math(
\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{ix k}dk
=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\frac{1}{x+i\delta}
= \frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x)
);

&math(
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0 e^{ix k}dk
=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\frac{-1}{x-i\delta}
= -\frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x)
);

という表式を得る。

** 1/(x+i0) について [#xb13dcd9]

上記の式を変形すると、

&math(
\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{x\pm i\delta}
\equiv\frac{1}{x\pm i0}
= \frac{1}{x}\mp i\pi\delta(x)
);

さらに、

&math(
& \lim_{\delta\rightarrow +0} \left(\frac{1}{x\pm i\delta}\right)^2
=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{x^2\pm 2i\delta x-\delta^2}
=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{(x^2-\delta^2)\mp 2i\delta x}{(x^2-\delta^2)^2 + 4\delta^2x^2}\\
& =\lim_{\delta\rightarrow +0}\left(\frac{x^2-\delta^2}{(x^2+\delta^2)^2}\mp\frac{2i\delta x}{(x^2+\delta^2)^2}\right)
=\frac{1}{x^2}\mp\lim_{x\rightarrow +0}\frac{2\pi i x}{(x^2+\delta^2)^2}\frac{\delta}{\pi(x^2+\delta^2)}\\
&=\frac{1}{x^2}\mp\frac{2\pi i}{x}\delta(x)
);

これと比較すると、恐らく

&math(
& \left(\frac{1}{x\pm i0}\right)^2
=\frac{1}{x^n\pm ni0x^{n-1}+O(0)^2+\dots}
=\frac{1}{x^n\pm ni0x^{n-1}}\\
& =\frac{1}{x^{n-1}}\frac{1}{x\pm ni0}
=\frac{1}{x^{n-1}}\left[\frac{1}{x}\mp n\pi i\delta(x)\right]
);

とか計算できそうなんだけど、間違っているっぽい???

どうも教科書の結果と合わない気がする・・・


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