スピントロニクス理論の基礎/X-3 のバックアップ(No.4)

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X-3 δ関数

定義

δ関数を解析関数の極限として定義する方法はいくつかあるみたいだけれど、 以下の定義は使い勝手が良いらしい。

&math( \delta(x)=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2} );

と置くと、この関数はδ関数となる。

\delta(-x)=\delta(x) は自明。

\int_a^b f(x)\delta(x)dx=f(0) も、以下のようにして成り立つ。

ただし、途中に現われる \mathrm{sgn}\,a a の符号を表す関数である。
\mathrm{sgn}\,a=\begin{cases}1&(0<a)\\-1&(a<0)\end{cases}

&math( &\int_a^b f(x)\delta(x)dx=\int_a^b f(x)\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_a^b f(x)\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t\delta)^2+\delta^2}d(t\delta)\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t^2+1)\delta^2}\cdot\delta dt\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} f(0)\frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} \frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{1}{(\tan \theta)^2+1} d(\tan \theta)\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{(\tan \theta)^2+1}{(\tan \theta)^2+1} d\theta\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \,1\, d\theta\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\frac{\pi}{2}[\mathrm{sgn}\,b-\mathrm{sgn}\,a]\\ &=\begin{cases} 0 & (0<a,b)\\ f(0) & (a<0,0<b)\\ 0 & (a,b<0)\\

  • f(0) & (b<0,0<a)\\ \end{cases} );

a,b の積分範囲に 0 が含まれるかどうか、 含まれるときに正負どちら向きに積分しているかによって、 ちゃんと正しい値が得られることが確認できる。

フーリエ変換・逆フーリエ変換

&math( \int_{-\infty}^\infty \delta(x)e^{-ikx}dx=e^{-ik\cdot 0}=1 );

は良いとして、逆フーリエ変換はちょっと工夫が必要。

&math( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk &=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{ix k}dk

+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0 e^{ix k}dk\\

&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_0^\infty e^{(ix -\delta)k}dk

+\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{-\infty}^0 e^{(ix+\delta) k}dk \\

&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{ix -\delta}e^{(ix -\delta)k}\right]_0^\infty

+\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{ix +\delta}e^{(ix +\delta)k}\right]_{-\infty}^0\\

&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix -\delta}(0-1)

+\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix +\delta}(1-0)\\

&=-\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix-\delta}

+\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix+\delta}\\

&=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[-\frac{1}{ix-\delta}+\frac{1}{ix+\delta}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{-2\delta}{-x^2-\delta^2}\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2-\delta^2}\\ &=\delta(x) );

正側と負側とでδを同時にゼロに近づけないと最後の答えにたどり着かないので、 その意味でこの積分は 「主値」 を取っていることになるのだと思うけれど、 そのあたりの考え方があまり良く理解できていない。

δ関数の「半身」について

上記計算の途中に現われる表現を使うと、 逆フーリエ変換の上半分と下半分に現われるそれぞれの関数をそれぞれ別個に評価できる。

&math( \delta(x) &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{1}{ix-\delta}+\frac{1}{ix+\delta}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[\frac{1}{x+i\delta}-\frac{1}{x-i\delta}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[\frac{x-i\delta}{x^2+\delta^2}-\frac{x+i\delta}{x^2+\delta^2}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[

  \left(\frac{x}{x^2+\delta^2}-\frac{i\delta}{x^2+\delta^2}\right)
 -\left(\frac{x}{x^2+\delta^2}+\frac{i\delta}{x^2+\delta^2}\right)\right]\\

&= \left(\frac{i}{2\pi x}+\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\right)

 -\left(\frac{i}{2\pi x}-\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\right)\\

&= \left(\frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x)\right)

 -\left(\frac{i}{2\pi x}-\frac{1}{2}\delta(x)\right)

);

したがって、

&math( \frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{ix k}dk =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\frac{1}{x+i\delta} = \frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x) );

&math( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0 e^{ix k}dk =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\frac{-1}{x-i\delta} = -\frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x) );

という表式を得る。

x=0 において実部だけでなく虚部も発散してしまうように見えるが、 物理学でこれらの関数を用いるときは恐らく常に上下合わせて使うことになる のだと思うので、虚部は消えて実部のδ関数だけが現われる・・・のだと思う。

1/(x+i0) について

上記の式を変形すると、

&math( \lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{x\pm i\delta} \equiv\frac{1}{x\pm i0} = \frac{1}{x}\mp i\pi\delta(x) );

さらに、

&math( & \lim_{\delta\rightarrow +0} \left(\frac{1}{x\pm i\delta}\right)^2 =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{x^2\pm 2i\delta x-\delta^2} =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{(x^2-\delta^2)\mp 2i\delta x}{(x^2-\delta^2)^2 + 4\delta^2x^2}\\ & =\lim_{\delta\rightarrow +0}\left(\frac{x^2-\delta^2}{(x^2+\delta^2)^2}\mp\frac{2i\delta x}{(x^2+\delta^2)^2}\right) =\frac{1}{x^2}\mp\lim_{x\rightarrow +0}\frac{2\pi i x}{(x^2+\delta^2)^2}\frac{\delta}{\pi(x^2+\delta^2)}\\ &=\frac{1}{x^2}\mp\frac{2\pi i}{x}\delta(x) );

これと比較すると、恐らく

&math( & \left(\frac{1}{x\pm i0}\right)^n =\frac{1}{x^n\pm ni0x^{n-1}+O(0)^2+\dots} =\frac{1}{x^n\pm ni0x^{n-1}}\\ & =\frac{1}{x^{n-1}}\frac{1}{x\pm ni0} =\frac{1}{x^{n-1}}\left[\frac{1}{x}\mp n\pi i\delta(x)\right] );

とか計算できそうなんだけど、間違っているっぽい???

どうも教科書の結果と合わない気がする・・・

上記のδ関数との関係を考えると、 これらの式の2乗なんかを単独で評価してしまうと、 たいていの場合に発散を生じるけれど、 物理量に直すときにはたぶんもう一方の片割れと 足し算する操作がどこかに入るはずで・・・ その際に打ち消される項と、残る項をちゃんと意識しながら評価しないと 間違った結果を導いてしまう危険を感じます。

その意味で「主値」を正しく評価する計算法に慣れておきたいところだけれど、 そのあたりはこれからのセミナーで習得予定(?)

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