スピントロニクス理論の基礎/X-4 のバックアップ(No.1)

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Green 関数について

Green 関数の基礎

与えられた h(x) に対して、

(X3-1)

\hat L_x f(x)=h(x)

を解いて f(x) を決定する問題を考える。

ここで、 \hat L_x x に対する微分や積分を含む線形な演算子。

例えば、

(X3-2)

\left( 2\frac{d}{dx}-3\frac{d^2}{dx^2} \right) f(x)=\frac{1}{x^2+1}

のような問題。

斉次方程式

一般に (X3-1) に比べて、 h(x) をゼロとした斉次方程式はずっと楽に解くことができる。

(X3-3)

\hat L_x f(x)=0

この解を f_0(x) としておく。

つまり、

(X3-3)

\hat L_x f_0(x)=0

非斉次方程式 (X1-1) の1つの解を f^*(x) とすると、

(X3-4)

\hat L_x f^*(x)=h(x)

これに斉次方程式の解を加えた f(x)=f^*(x)+a f_0(x) も (X3-1) の解になるのは有名な話。

(X3-5)

\hat L_x\Big( f^*(x)+f_0(x) \Big)=\hat L_x f^*(x)+\hat L_x f_0(x)=h(x)+0=h(x)

Green 関数

もし (X3-1) の \hat L_x に対して、

(X3-6)

\hat L_x g(x,x')=\delta(x-x')

となるような関数 = Green 関数を求めることができれば、

(X3-7)

&math( \hat L_x f(x)&=h(x)=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \delta(x-x')\\ &=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \hat L_x g(x,x')\\ &=\hat L_x \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') );

となる。ここで、 \hat L_x x に対する演算子で、 x' を含まないため、 h(x') x' の積分と順序を入れ替えられることに注意。

(X3-7) の右辺を左辺に移項して、

(X3-8)

\hat L_x \left[ f(x) - \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') \right] = 0

すなわち、[ ] 内は (X3-3) の形の斉次方程式の解となっている。

(X3-9)

f(x) - \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') = f_0(x)

\therefore f(x) = f_0(x) + \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x')

このように、ある演算子 \hat L_x に対して、 その斉次方程式の解 f_0(x) と Green 関数 g(x,x') が求まってしまえば、微分・積分方程式 \hat L_x f(x)=h(x) の解は単に h(x) を積分するだけで求まってしまう。

今の場合


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