スピントロニクス理論の基礎/X-4 のバックアップ差分(No.1)

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#contents

* Green 関数について [#bdad9752]

** Green 関数の基礎 [#u6b99619]

与えられた &math(h(x)); に対して、

(X3-1)

&math(\hat L_x f(x)=h(x));

を解いて &math(f(x)); を決定する問題を考える。

ここで、&math(\hat L_x); は &math(x); に対する微分や積分を含む線形な演算子。

例えば、

(X3-2)

&math(\left( 2\frac{d}{dx}-3\frac{d^2}{dx^2} \right) f(x)=\frac{1}{x^2+1} );

のような問題。

*** 斉次方程式 [#b5094002]

一般に (X3-1) に比べて、&math(h(x)); をゼロとした斉次方程式はずっと楽に解くことができる。

(X3-3)

&math(\hat L_x f(x)=0);

この解を &math(f_0(x)); としておく。

つまり、

(X3-3)

&math(\hat L_x f_0(x)=0);

非斉次方程式 (X1-1) の1つの解を &math(f^*(x)); とすると、

(X3-4)

&math(\hat L_x f^*(x)=h(x));

これに斉次方程式の解を加えた &math(f(x)=f^*(x)+a f_0(x)); も (X3-1) の解になるのは有名な話。

(X3-5)

&math(\hat L_x\Big( f^*(x)+f_0(x) \Big)=\hat L_x f^*(x)+\hat L_x f_0(x)=h(x)+0=h(x));

*** Green 関数 [#nc7f6d91]

もし (X3-1) の &math(\hat L_x); に対して、

(X3-6)

&math(\hat L_x g(x,x')=\delta(x-x'));

となるような関数 = Green 関数を求めることができれば、

(X3-7)

&math(
\hat L_x f(x)&=h(x)=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \delta(x-x')\\
&=\int_{-\infty}^\infty dx' h(x') \hat L_x g(x,x')\\
&=\hat L_x \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x')
);

となる。ここで、&math(\hat L_x); は &math(x); に対する演算子で、
&math(x'); を含まないため、&math(h(x')); や &math(x'); 
の積分と順序を入れ替えられることに注意。

(X3-7) の右辺を左辺に移項して、

(X3-8)

&math(\hat L_x \left[ f(x) - \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') \right] = 0);

すなわち、[ ] 内は (X3-3) の形の斉次方程式の解となっている。

(X3-9)

&math(f(x) - \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x') = f_0(x));

&math(\therefore f(x) = f_0(x) + \int_{-\infty}^\infty dx' h(x') g(x,x'));

このように、ある演算子 &math(\hat L_x); に対して、
その斉次方程式の解 &math(f_0(x)); と Green 関数 &math(g(x,x')); 
が求まってしまえば、微分・積分方程式 &math(\hat L_x f(x)=h(x)); 
の解は単に &math(h(x)); を積分するだけで求まってしまう。

** 今の場合 [#q3e226e5]


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