ベクトル空間と線形写像 のバックアップ(No.2)

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線形代数I

ベクトルとは?

  • 縦数ベクトル: \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}
  • 横数ベクトル: \begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}
  • 幾何ベクトル: \overrightarrow{\rm AB}
  • そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる

直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと1対1に対応させられる。

ベクトル空間とベクトル

上記のように、

  • k\bm a (スカラー倍)
  • \bm a+\bm b (和)

が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。

詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。

n 次元数ベクトル空間

  • 実数の集合を \mathbb{R}
  • n 次元(縦)実数ベクトル空間を \mathbb{R}^n

と書くことにする。

以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを

  • 複素数の集合 \mathbb C
  • n 次元複素数の集合 \mathbb C^n

に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。

1次結合(線形結合)

c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \sum_{k=1}^r c_k\bm a_k

の形を \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の「一次結合」と言う。

例1:

\bm a, \bm b の一次結合: 3\bm a+\bm b , \bm a-\bm b , -2\bm a

例2:

\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n は、 基本ベクトル \bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_n を用いて、

\bm a=\sum_{k=1}^ra_k\bm e_k

と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。

例3:

\bm b \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の一次結合で表せるか?というような問題が出されることがある。これは、

\bm b=x_1\bm a_1+x_2 \bm a_2+ \dots+x_r \bm a_r = \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_r\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{bmatrix}=A\bm x

を満たす \bm x は存在するか?という問題と同値である。

一次関係式

c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r =0 \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の「一次関係式」と呼び、特に c_1=c_2=\dots=c_r=0 の場合を「自明な一次関係式」と呼ぶ。

一次独立

\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_r が非自明な一次関係式を持たないとき、
すなわち \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Bigg]\bm x=\bm o の解が \bm x=\bm o しか存在しないとき、
\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_r は「1次独立(線形独立)」であると言う。

すなわち、 \bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_r が1次独立であるかどうかを調べるには A\bm x=\bm o を解けばよい。

一次従属

一次独立でないことを「一次従属である」と言う。

A が正方の時

以下の条件は同値である。

  • \bm a_1,\bm a_2, \dots,\bm a_n が一次独立
  • A\bm x=\bm o の解が \bm x=\bm o のみ
  • \rank A=n
  • A が正則
  • |A|\ne 0

すなわち、 n 個の数ベクトルが一次独立であるかどうかを調べるには |A| を計算してみればよい。

生成される集合

直線の方程式

平面の方程式

空間図形とベクトル

線形空間

線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Iでは扱わない。

線形写像と表現行列

\bm a\in \mathbb R^n を与えると \bm a'\in \mathbb R^m を返すような関数 f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m を考える。

すなわち \bm a'=f(\bm a)

f は様々な物が考えられるが、任意の \bm a に対して、必ず1つだけ \bm a' が決まることが重要である。 \mathbb R^n のベクトル全てを、対応する \mathbb R^m のベクトルに変換する、という意味で、このような関数を「写像」と呼ぶこともある。

例:

\bm a=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \mathbb R^2 , \bm a'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}\in \mathbb R^3 の時、例えば

\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=f(\bm a)=\begin{bmatrix}2+x\sin y\\2^y\end{bmatrix}

として定義される f は、 x,y を1組決めれば x',y',z' が決まるため、 \mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^3 の写像となる。

線形写像

ある写像 f が線形であるとは、任意の \bm a, \bm b\in \mathbb R^n および c\in \mathbb R に対して、

  • f(\bm a+\bm b)=f(\bm a)+f(\bm b)
  • f(c\bm a)=cf(\bm a)

が成り立つことを言う。


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