線形代数I/小テスト/2006-04-27 のバックアップの現在との差分(No.5)

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* 問1 [#u8999bd1]

(1)次の行列 &math(A); に対して &math(^t\!A); を求めよ。

&math(A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{array}\right]);

(2)次の行列 &math(A); は正則か?

&math(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]);

* 問2 [#q2e19d70]

行列 &math(A=\left[\begin{array}{ccc}-3&6&-1\\1&-2&2\\2&-4&5\end{array}\right]);
が与えられたとき次の問に答えよ。

(1)&math(A); が定める線形写像の値域について、基底と次元を求めよ。

(2)&math(A); が定める線形写像の核について、基底と次元を求めよ。

* 解答1 [#fd75a9a5]

(1)

&math(^t\!A=\left[\begin{array}{ccc}1&5&9\\2&6&10\\3&7&11\\4&8&12\end{array}\right]);

(2)

&math(\det A = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2); なので逆行列が存在し、正則。

* 解答2 [#sb4758b3]

(1)

まず始めに行列 &math(A); の3つの列ベクトルを、

&math(\bm{a}=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\2\end{array}\right]);、
&math(\bm{b}=\left[\begin{array}{c}6\\-2\\-4\end{array}\right]);、
&math(\bm{c}=\left[\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right]); 

と置き、これらが線形独立かどうかを調べよう。

まず、&math(\bm{b}=-2\bm{a}); より、&math(\bm{a}); と &math(\bm{b}); とは一次従属である。

一方、&math(\bm{a}); と &math(\bm{c}); とは

&math(\left\{\begin{array}{l}-3x-y=0\\x+2y=0\\2x+5y=0\end{array}\right.);

の解が &math((x,y)=(0,0)); に限られることから線形独立である。

従って &math(\bm{x}=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]); と置くと、

&math(A\bm{x}&=x\bm{a}+y\bm{b}+z\bm{c}\\&=(x-2y)\bm{a}+z\bm{c}); ・・・ ①

と書くことができる。

ここから行列 &math(A); の値域は
&math(\bm{a}=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\2\end{array}\right]);、
&math(\bm{c}=\left[\begin{array}{c}-1\\2\\5\end{array}\right]); を基底とする
2次元ベクトル空間であることが分かる。

(2)上記 ① より
&math(A\bm{x}=\bm{o}); の解は &math(x-2y=0);、&math(z=0);、つまり

&math(\bm{x}=y\left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right]);

ここから &math(\text{Ker} A); は
&math(\left[\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right]); を基底とする
1次元ベクトル空間であることが分かる。

* コメント [#i4d163d4]

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