線形代数I/小テスト/2006-05-18 のバックアップ(No.1)

更新


線形代数I

問1

次の行列の階数 (rank) を求めよ。

(1)[Math Conversion Error]


問2

次の行列は正則である。逆行列を求めよ。

(1)[Math Conversion Error]


(2)[Math Conversion Error]


解答1

[Math Conversion Error]



行基本変形により、1行目を使って他の行の1列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



2行目を使って3,4行の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためには あらかじめ3,4行を3倍しておけばよい。

[Math Conversion Error]



2行目を使って3,4行の2列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



3行目を使って4行目の3列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



対角成分が4つ残ったので、 \text{rank} A=4 である。

解答2(1)

与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。

[Math Conversion Error]



行を入れ替えて左半分を対角行列にする。

[Math Conversion Error]



各行に定数を掛けて左半分を単位行列にする。

[Math Conversion Error]



したがって、逆行列は

[Math Conversion Error]



解答2(2)

与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。

[Math Conversion Error]



1行目を使って2行目の1列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためにあらかじめ3倍しておく。

[Math Conversion Error]



2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



3行目を使って他の行の3列目をゼロにするため、あらかじめ7を掛けておく。

[Math Conversion Error]



3行目を使って他の行の3列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



4行目を使って他の行の4列目をゼロにするため、あらかじめ5を掛けておく。

[Math Conversion Error]



4行目を使って他の行の4列目をゼロにする。

[Math Conversion Error]



各行に定数を掛けて左半分を単位行列にし、右半分を取り出すとそれが逆行列となる。

[Math Conversion Error]



約分すると、対称行列であることがはっきりする。

[Math Conversion Error]



分母をそろえて外に出しても良い。

[Math Conversion Error]



逆行列の計算で面倒な数値になる場合、中途段階で計算を間違えていないかを検算する方法がある。

\left[\ A \ \ \vdots \ \ I \ \right]

を行方向の基本変形を施した途中結果は

\left[\ BA \ \ \vdots \ \ B \ \right]

となっているはずである。

したがって、途中結果の右半分 B に右から元の行列 A を掛けて左半分 BA と等しくなれば、 その時点までの計算は間違っていないと判断できる。


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