線形代数I/小テスト/2006-05-18 のバックアップソース(No.1)

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[[線形代数I]]

* 問1 [#ucdd4380]

次の行列の階数 (rank) を求めよ。

(1)&math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~2&1&4&2~3&4&2&1~4&3&1&2\end{array}\right]);

* 問2 [#y530ccb2]

次の行列は正則である。逆行列を求めよ。

(1)&math(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1~0&0&2&0~0&3&0&0~4&0&0&0\end{array}\right]);

(2)&math($\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0~2&1&2&0~0&2&1&2~0&0&2&1\end{array}\right]);

* 解答1 [#z159a9f8]

&math(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~2&1&4&2~3&4&2&1~4&3&1&2\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)~-2\times(1)~-3\times(1)~-4\times(1)\end{array});~

行基本変形により、1行目を使って他の行の1列目をゼロにする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&-2&-7&-11~0&-5&-11&-14\end{array}\right]\begin{array}{l}~~\times 3~\times 3\end{array});~

2行目を使って3,4行の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためには
あらかじめ3,4行を3倍しておけばよい。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&-6&-21&-33~0&-15&-33&-42\end{array}\right]\begin{array}{l}~\gets(2)~-2\times (2)~-5\times (2)\end{array});~

2行目を使って3,4行の2列目をゼロにする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&0&-11&-21~0&0&-8&-12\end{array}\right]\begin{array}{l}~ ~ \gets (3) ~-8/11\times (3)\end{array});~

3行目を使って4行目の3列目をゼロにする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4~0&-3&-2&-6~0&0&-11&-21~0&0&0&36/11\end{array}\right]);~

対角成分が4つ残ったので、&math(\text{rank} A=4); である。

* 解答2(1) [#g8b3e6e2]

与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。~

&math(\left[\begin{array}{cccccccc}0&0&0&1&1&0&0&0~0&0&2&0&0&1&0&0~0&3&0&0&0&0&1&0~4&0&0&0&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)~\gets (2)~ (2) と交換する~ (1) と交換する\end{array});~

行を入れ替えて左半分を対角行列にする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}4&0&0&0&0&0&0&1~0&3&0&0&0&0&1&0~0&0&2&0&0&1&0&0~0&0&0&1&1&0&0&0\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 1/4~\times 1/3~\times 1/2~\ \end{array});~

各行に定数を掛けて左半分を単位行列にする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}1&0&0&0&0&0&0&1/4~0&1&0&0&0&0&1/3&0~0&0&1&0&0&1/2&0&0~0&0&0&1&1&0&0&0\end{array}\right] );~

したがって、逆行列は~

&math(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1/4~0&0&1/3&0~0&1/2&0&0~1&0&0&0\end{array}\right] );~

* 解答2(2) [#f347aacb]

与えられた行列を左半分に、単位行列を右半分に持つ行列を作り、行基本変形を繰り返す。~

&math(\left[\begin{array}{cccccccc}1&2&0&0&1&0&0&0~2&1&2&0&0&1&0&0~0&2&1&2&0&0&1&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\gets (1)~ -2\times(1)~\ ~\  \end{array});~

1行目を使って2行目の1列目をゼロにする。

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}1&2&0&0&1&0&0&0~0&-3&2&0&-2&1&0&0~0&2&1&2&0&0&1&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 3~ ~\times 3 ~\  \end{array});~

2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにしたいが、分数を使うのを避けるためにあらかじめ3倍しておく。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}3&6&0&0&3&0&0&0~0&-3&2&0&-2&1&0&0~0&6&3&6&0&0&3&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}+2\times (2)~\gets (2) ~+2\times (2) ~\  \end{array});~

2行目を使って1,3行目の2列目をゼロにする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}3&0&4&0&-1&2&0&0~0&-3&2&0&-2&1&0&0~0&0&7&6&-4&2&3&0~0&0&2&1&0&0&0&1\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 7~\times 7 ~\ ~\times 7  \end{array});~

3行目を使って他の行の3列目をゼロにするため、あらかじめ7を掛けておく。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}21&0&28&0&-7&14&0&0~0&-21&14&0&-14&7&0&0~0&0&7&6&-4&2&3&0~0&0&14&7&0&0&0&7\end{array}\right]\begin{array}{l}-4\times (3)~-2\times (3) ~\gets (3) ~-2\times (3) \end{array});~

3行目を使って他の行の3列目をゼロにする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}21&0&0&-24&9&6&-12&0~0&-21&0&-12&-6&3&-6&0~0&0&7&6&-4&2&3&0~0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}\times 5~\times 5 ~\times 5 ~\  \end{array});~

4行目を使って他の行の4列目をゼロにするため、あらかじめ5を掛けておく。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}105&0&0&-120&45&30&-60&0~0&-105&0&-60&-30&15&-30&0~0&0&35&30&-20&10&15&0~0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}-24\times (4)~-12\times (4) ~+6\times (4) ~\gets (4)  \end{array});~

4行目を使って他の行の4列目をゼロにする。~

&math(\sim \left[\begin{array}{cccccccc}105&0&0&0&-147&126&84&-168~0&-105&0&0&-126&63&42&-84~0&0&35&0&28&-14&-21&42~0&0&0&-5&8&-4&-6&7\end{array}\right]\begin{array}{l}/105~/105 ~/35 ~/5  \end{array});~

各行に定数を掛けて左半分を単位行列にし、右半分を取り出すとそれが逆行列となる。~

&math(\left[\begin{array}{cccc}-147/105&126/105&84/105&-168/105~126/105&-63/105&-42/105&84/105~28/35&-14/35&-21/35&42/35~-8/5&4/5&6/5&-7/5\end{array}\right]);~

約分すると、対称行列であることがはっきりする。~

&math(= \left[\begin{array}{cccc}-7/5&6/5&4/5&-8/5~6/5&-4/5&-2/5&4/5~4/5&-2/5&-3/5&6/5~-8/5&4/5&6/5&-7/5\end{array}\right]);~

分母をそろえて外に出しても良い。~

&math(=(1/5)\left[\begin{array}{cccc}-7&6&4&-8~6&-3&-2&4~4&-2&-3&6~-8&4&6&-7\end{array}\right]);~

逆行列の計算で面倒な数値になる場合、中途段階で計算を間違えていないかを検算する方法がある。~

&math(\left[\ A \ \ \vdots \ \ I \ \right]);~

を行方向の基本変形を施した途中結果は~

&math(\left[\ BA \ \ \vdots \ \ B \ \right]);~

となっているはずである。

したがって、途中結果の右半分 &math(B); に右から元の行列 &math(A); を掛けて左半分 &math(BA); と等しくなれば、
その時点までの計算は間違っていないと判断できる。

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