線形代数I/小テスト/2006-06-01 のバックアップ(No.1)

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線形代数I

問1

次の行列の行列式を、列基本変形による三角化を使って求めよ。

\left[ \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right]

解答1

行方向の基本変形を使い下三角行列にする。

\left| \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right|

1列目の3倍を2列目から、2倍を3列目から引く。

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-7&-2 \\ 2&-5&-2 \end{array} \right|

2列目2行目の成分 -7 が嫌なので、3列目の3倍を2列目から引く。

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&-2 \\ 2&1&-2 \end{array} \right|

2列目の2倍を3列目から引く。

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 2&1&-4 \end{array} \right|

このように対角成分よりも上がすべてゼロである行列を下三角行列と呼ぶ。

三角行列の行列式は対角成分の積となるので、

= 1 \times -1 \times -4 = 4

として良い。

なぜなら、対角行列をさらに以下のように変形できることは自明であるため。

3列目を使って1列目、2列目の3行目をゼロにする。(それぞれ 1/2, 1/4 を掛けて足せば良い)

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|

2列目を使って1列目の2行目をゼロにする。(3を掛けて足せば良い)

= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|

2列目の -1 を外に出す。

= (-1) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|

3列目の -4 を外に出す。

= (-1 \times -4) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|

単位行列の行列式は1である。

= -1 \times -4 = 4

このようにして得られる答えが三角行列の対角成分の積と同じ値になることは自明である。

問2

次の行列の行列式を、列ベクトルを標準基底により展開する方法で求めよ。(転置行列の行列式は 元の行列式と等しくなるはずである)

(1) \left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]

(2) \left[ \begin{array}{ccc} a&d&g \\ b&e&h \\ c&f&i \end{array} \right]

解答2

(1) \left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right|


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