広義固有空間の構造とジョルダン標準形 のバックアップ差分(No.2)

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[[線形代数I]]

* 概要 [#jcb5900a]

ジョルダン標準形とは、対角化できない行列を「準対角化」した形である。

ここは発展項目なので、線形代数IIの内容を先取りして使う。~
実のところ、線形代数IIでも扱わない内容なので、線形代数IIを学んでから戻ってきても良い。

* 固有空間とその次元 [#q8a7b352]

&math(n); 次正方行列 &math(A); の、固有値 &math(\lambda); に対する固有空間 &math(V(\lambda)); 
(固有ベクトルの集合が作る線形空間)は、

 &math(V(\lambda)=\mathrm{Ker}\,(A-\lambda I));

と表せる。

&math(\lambda); の重複度と同数の一次独立な固有ベクトルを見つけられることが
&math(A); を対角化できる必要条件だった。これは固有空間の次元が重複度と等しいことと同値である。
(重複度を超えることはない)

固有空間の次元は &math((A-\lambda I)\bm x=\bm 0); の解の自由度(パラメータの数)だから、

 &math(\mathrm{dim}\,V(\lambda)=n-\mathrm{rank}\,(A-\lambda I));

→ 解の自由度は掃出せなかった列の数に等しいこと、
掃出せた列の数が階数と等しいこと、を思い出せ。

* 対角化できない場合 [#q8c9db91]

対角化できない場合には、&math(\lambda); の重複度を &math(r); とすれば、

 &math(n-\mathrm{rank}\,(A-\lambda I)<r);

となる &math(\lambda); が存在することになる。

* 広義固有空間 [#d119c641]

[[三角化可能定理>線形代数I/対角化(一般の場合)#m3c1a3d7]] において、
初めに &math(\lambda); を &math(r); 解選ぶと、左上から &math(r); 個の
&math(\lambda); が並び、その後、他の固有値が並ぶ形に対角化ができる。

そこに [[ケーリーハミルトンの定理>線形代数I/ケーリー・ハミルトンの定理]] 
と同じ操作を

 &math(f_\lambda(A)=(\lambda I-A)^r);
 &math(f_\lambda(A)=(A-\lambda I)^r);

に対して行えば、&math(f_\lambda(A)); の階数が &math(n-r); となることが分かる。

すなわち、

 &math(n-\mathrm{rank}\,(A-\lambda I)<r);

であるが、

 &math(n-\mathrm{rank}\,(A-\lambda I)^r=r);

となるのである。

これは、

 &math(W(\lambda)=\mathrm{Ker}(A-\lambda I)^r);

を &math(\lambda); に属する広義固有空間と定義すれば、
その次元がぴったり重複度と等しくなることを意味する。

* 広義固有空間の基底 [#lc6fbe8f]


* 例 [#u32b1a19]

 &math(A=\begin{pmatrix}
 4 & -2 & 0 \\
 -3 & 4 & -2 \\
 -11 & 9 & -2 \\
\end{pmatrix}

);

 &math(|A-\lambda I|=
\begin{vmatrix}
 4-\lambda & -2 & 0 \\
 -3 & 4-\lambda & -2 \\
 -11 & 9 & -2-\lambda \\
\end{vmatrix}=
8-12\lambda+6\lambda^2-\lambda^3=(2-\lambda)^3
);

 &math(\lambda=2);  (3重解)

 &math((A-\lambda I)\bm x=\bm 0);

 &math(
\begin{pmatrix}
 2 & -2 & 0 \\
 -3 & 2 & -2 \\
 -11 & 9 & -4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
 1 & -1 & 0 \\
 0 & -1 & -2 \\
 0 & -2 & -4 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 2 \\
 0 & 1 & 2 \\
 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
);

掃出せなかった &math(z); をパラメータとして、

 &math(\bm x=z\begin{pmatrix}
-2\\-2\\1
\end{pmatrix});

3重解なのに &math(\dim V(2)=1); だ。
基底として &math(\bm b_1=\begin{pmatrix}
-2\\-2\\1
\end{pmatrix}); を取れる。

&math(V^2(2)); を求めるために

 &math((A-\lambda I)\bm x=\bm b_1);

の拡大係数行列を変形して、

 &math(
(A-\lambda I)\bm x=\bm b_1\\
\begin{pmatrix}
 2 & -2 & 0 & -2\\
 -3 & 2 & -2 & -2\\
 -11 & 9 & -4 & 1\\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
 1 & -1 & 0 & -1\\
 0 & -1 & -2 & -5\\
 0 & -2 & -4 & -10\\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 2 & 4\\
 0 & 1 & 2 & -5\\
 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
);

掃出せなかった &math(z); をパラメータとして、


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