線形代数I/教科書問/1.3 のバックアップソース(No.11)

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* 問1.3 [#e132afc3]

&math(\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_k); が一次独立であれば、その一部 &math(\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_i); ただし
&math(i<k); も一次独立であることを示せ。

* 回答 [#k6b3d4c2]

対偶を取って &math(\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_i); が一次従属であれば &math(\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_k); も一次従属であることを示せばよい。

&math(x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+\dots+x_i\bm{a}_i=\bm{o}); 

となる &math(\{x_n\}); が存在するとしよう。
ただし、&math(\{x_n\}); は &math(x_m\ne 0); となるような要素を含む。

このとき、

&math(x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2&+\dots+x_i\bm{a}_i+0\cdot \bm{a}_{i+1}\\&+0\cdot \bm{a}_{i+2}+\dots+0\cdot \bm{a}_{k}=\bm{o}); 

であり、これは &math(\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_k); が一次従属であることを示している。

* コメント [#i4d163d4]
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