線形代数I/教科書演習/1A−2 のバックアップ差分(No.1)

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[[線形代数I/教科書演習]]

''問''

&math(R^2); で、&math((a, b)); と &math((c, d)); が1次独立であるための
必要十分条件は &math(ad-bc\ne 0); であることを示せ。

''解答''

まず十分であること、つまり &math(ad-bc\ne 0); であれば1次独立であることを示そう。

このために、

&math(ax+by&=0\\cx+dy=0);

の解、&math((x, y)) を求める。

&math(a \ne 0); のとき、

&math(x=-(b/a)y); ・・・ ①

であり、これを &math(cx+dy=0); に代入することで

&math(-(bc/a)y+dy=0\\(ad-bc)y=0);

を得る。&math(ad-bc\ne 0); よりこれは &math(y=0); を表し、① からすぐに &math(x=0); を得る。

一方、&math(a=0); のとき、&math(ad-bc\ne 0); より &math(bc\ne 0); であり、
すなわち &math(c \ne 0); であるから、

&math(x=-(d/c)y); ・・・ ②~
&math(-(ad/c)y+by=0\\-(ad-bc)y=0);

となり、&math(a \ne 0); のときと同様に &math(x=y=0); を得る。

すなわち、&math(ad-bc\ne 0); であれば1次独立であることが示された。

次に必要であること、つまり1次独立であれば &math(ad-bc\ne 0); であることを示そう。


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