線形代数Ｉ/行列式 のバックアップソース(No.11)
更新[[線形代数Ｉ]]
#contents
培風館「教養の線形代数（五訂版）」に沿って行っている授業の授業ノート（の一部）です。
* ２次の行列式(デターミナント) [#r81825be]
２次の正方行列 &math(A); の行列式（デターミナントを日本語では行列式と呼ぶ）は、
&math(\det A=|A|=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc);
であることを高校で学んだ。
ここで、
&math(\left|\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\right|);
と書く代わりに
&math(\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|);
と書くことに注意せよ。
一般に &math(n); 次の正方行列に行列式が定義される。
例：３次の場合~
&math(\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh);
&math(n); 次の行列式は
+ &math(n); 個の要素を掛け合わせ、符号を付けて足し合わせたもの
+ 掛け合わされる &math(n); 個の要素は各列から１つずつ、各行から１つずつ取られる~
つまり、１つの項の中に現れる &math(n);個の因子に同じ行、同じ列の要素がダブって含まれることは無い。
+ 付ける符号の決め方は後で学ぶ。
2. のルールを満たす積の作り方は &math({}_nP_n=n!); 通りある。
例：&math(n=3); の時
各行に対してどの列を取るかを表にすると、
|積|１行目|２行目|３行目|符号|
|&math(aei);|1|2|3|+|
|&math(bfg);|2|3|1|+|
|&math(cdh);|3|1|2|+|
|&math(ceg);|3|2|1|-|
|&math(bdi);|2|1|3|-|
|&math(afh);|1|3|2|-|
列の取り方が &math({}_nP_n=n!); 通りになることが分かる。
* 3.1 順列 [#ha430b95]
各項の符号を定義するため「順列」について学ぶ。
&math(n); 次の順列とは、&math(1\sim n); の数字を任意の順に並べ替えて丸括弧でくくった物。
- １次：(1)
- ２次：(1 2), (2 1)
- ３次：(1 2 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1), (2 1 3), (1 3 2)
- &math(\vdots);
(１つの順列の中に同じ数字は複数回現れないことに注意せよ）
** n 次の順列は n! 個存在する [#f4535f1c]
&math({}_nP_n=n!); 個存在する。
&math(1!=1);, &math(2!=2\cdot 1=2);, &math(3!=3\cdot 2\cdot 1=6);, &math(4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24);, &math(5!=120);, &math(6!=720);, &math(7!=5040);, ・・・
** 文字で書くときは [#q3f51f60]
&math((p_1\ p_2\ p_3\ \cdots\ p_n)); などと書く。
&math(p_1, p_2, p_3, \cdots, p_n); には &math(1\sim n); の自然数が１回ずつ現れる。
** 転倒数 [#p2df7dc3]
&math(p_i); と &math(p_j); が、&math(i<j); にもかかわらず &math(p_i>p_j); となるとき、
&math(p_i,p_j); は「転倒している」と言う。~
（&math((1\ 2\ 3\ \cdots\ n)); の順を基準として、入れ替わっていると言う意味）
- (1 2 3) 転倒はない → 転倒数 0
- (1 3 2) 3 と 2 が転倒 → 転倒数 1
- (2 3 1) 2 と 1, 3 と 1 が転倒 → 転倒数 2
- (3 2 1) 3 と 2, 3 と 1, 2 と 1 が転倒 → 転倒数 3
間違いなく数えるには、それぞれの数字に対して、
自身よりも右にあって、自身よりも小さな数字の出現回数を数えて、
最後に全て加えればいい。
&math((2\ 5\ 1\ 3\ 7\ 4\ 6));~
&math(\phantom{(}1+3+0+0+2+0+0=6);
** 順列の符号 [#t6b04865]
&math(\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)); と書く。
順列の符号は &math(\pm 1); の値を取り、
- &math(+1); : 転倒数が偶数の場合
- &math(-1); : 転倒数が奇数の場合
両方まとめると、転倒数が &math(r); の時に
&math(\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)=(-1)^r);
** 隣り合う要素の入れ替えで符号は反転する [#k48cbbe4]
&math(\varepsilon(\cdots\ p_i\ p_{i+1}\ \cdots)&=\\-\varepsilon(\cdots\ p_{i+1}\ p_i\ \cdots)&);
∵ &math(p_i,p_{i+1}); 以外の要素の組については転倒数が変化しない。~
したがって、~
(1) &math(p_i<p_{i+1}); の時、入れ替えにより転倒数は１増える~
(2) &math(p_i>p_{i+1}); の時、入れ替えにより転倒数は１減る~
どちらの場合も、符号は反転する。
** 任意の要素の入れ替えで符号は反転する [#sde58dab]
&math(\varepsilon(\cdots\ p_i\ \cdots\ p_j\ \cdots)&=\\-\varepsilon(\cdots\ p_j\ \cdots\ p_i\ \cdots)&);
∵&math(i<j);とすれば、~
&math(i);番目と&math(i+1);番目、&math(i+1);番目と&math(i+2);番目、…、&math(j-1);番目と&math(j);番目をこの順に入れ替えると、入れ替え階数は&math(j-i);回であるから
(左辺)&math(=(-1)^{j-i}\varepsilon(\cdots\ p_{i+1}\ \cdots\ p_j\ p_i\ \cdots));
となる。(&math( p_{i+1}\ \cdots\ p_j); と &math(p_i); とを入れ替えた)
さらに、&math(j-2);番目と&math(j-1);番目、&math(j-3);番目と&math(j-2);番目、…、&math(i);番目と&math(i+1);番目をこの順に入れ替えると、入れ替え階数は&math(j-i-1);回であるから
&math(=(-1)^{2(j-i)-1}\varepsilon(\cdots\ p_j\ p_{i+1}\ \cdots\ p_{j-1}\ p_i\ \cdots)=);(右辺)
となる。(&math(p_j); と &math( p_{i+1}\ \cdots\ p_{j-1}); とを入れ替えた)
* n次正方行列の行列式 [#l1f19614]
&math(A=[a_{ij}]); とすると、行列式は次のように定義される。
&math(|A|=\sum_{(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n});
- &math(\sum_{(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)}); は、&math(n); 次の順列全てについて、それぞれ &math(\varepsilon(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}); の値を計算し、
できた &math(n!); 個の項を足し合わせた値を意味する。
例１： &math(n=2); の時：
２次の順列を転倒数で分類すれば、
&math(+1:\ (1\ 2)\\-1:\ (2\ 1));
したがって、
&math(\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|&=\sum_{(p_1\ p_2)}\varepsilon(p_1\ p_2)a_{1p_1}a_{2p_2}\\&=\varepsilon(1\ 2)a_{11}a_{22}+\varepsilon(2\ 1)a_{12}a_{21}\\&=ad-bc);
例２： &math(n=3); の時：
３次の順列を転倒数で分類すれば、
&math(+1:\ (1\ 2\ 3), (2\ 3\ 1), (3\ 1\ 2)\\-1:\ (3\ 2\ 1), (2\ 1\ 3), (1\ 3\ 2));
したがって、
&math(\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|=\sum_{(p_1\ p_2\ p_3)}\varepsilon(p_1\ p_2\ p_3)a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3});
&math(\begin{array}{r@{\hspace{1cm}}c@{\hspace{1cm}}l}=\varepsilon(1\ 2\ 3)a_{11}a_{22}a_{33}&\rightarrow&+aei\\+\varepsilon(2\ 3\ 1)a_{12}a_{23}a_{31}&\rightarrow&+bfg\\+\varepsilon(3\ 1\ 2)a_{13}a_{21}a_{32}&\rightarrow&+cdh\\+\varepsilon(3\ 2\ 1)a_{13}a_{22}a_{31}&\rightarrow&-ceg\\+\varepsilon(2\ 1\ 3)a_{12}a_{21}a_{33}&\rightarrow&-bdi\\+\varepsilon(1\ 3\ 2)a_{11}a_{23}a_{32}&\rightarrow&-afh\end{array});
&math(=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh);
* 3.2 行列式の性質 [#n55fd6dd]
** すぐ分かる内容 [#xa7c98d3]
- &math(A=[a]); なら &math(|A|=a);~
&math(\because|A|=|[a]|=|a|=\sum_{(p_1)}\varepsilon(p_1)a_{1p_1}=+a_{11}=a);
- &math(|A|); は正にも負にもなる (絶対値とは異なる)
- &math(A); が整数のみからなる行列なら &math(|A|); も整数となる
** 行に対する多重線形性 [#x3d21891]
「線形」とは、~
&math(\begin{cases}f(ax)=af(x)\\f(x+y)=f(x)+f(y)\end{cases});
を満たすような関数 &math(f); を表す性質。
- &math(f(x)=Ax); なら線形
- &math(f(x)=Ax+B); だと線形ではない
行列式の多重線形性は、&math(A=\begin{bmatrix}\hspace{5mm}\bm a_1\hspace{5mm}\\\bm a_2\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_n\end{bmatrix}); を行列 &math(A); の行ベクトル分解として次の２つが成り立つこと。
&math(\begin{cases}\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]c\bm a_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}=c\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}\\\phantom{0}\\\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_k+\bm a'_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\bm a_1\hspace{10mm}\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a'_k\\[-6pt]\vdots\\[-8pt]\bm a_n\end{vmatrix}\end{cases});
これは、行列式を「行ベクトルを与えると数値を返す関数」と見たときに、
&math(f(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n)=\begin{vmatrix}\hspace{5mm}\bm a_1\hspace{5mm}\\\bm a_2\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_n\end{vmatrix});
すべての引数 &math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); に対して線形性を持つと言うことであり、この意味で「多重」と言われる。
*** 証明 [#o56fb42b]
&math(
&(第１式左辺)\\
&=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots (ca_{kp_k})\dots a_{np_n}\\
&=c\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a_{kp_k}\dots a_{np_n}\\
&=(第１式右辺)
);
&math(\sum); 中で、&math(k); 行目の要素が現れるのは &math(ca_{kp_k}); の部分しかないことに注意せよ。
同様に、
&math(
(第２式左辺)\\
&=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots (a_{kp_k}+a'_{kp_k})\dots a_{np_n}\\
&=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a_{kp_k}\dots a_{np_n}\\
&\ +\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}\dots a'_{kp_k}\dots a_{np_n}\\
&=(第２式右辺)
);
** 行に対する交代性 [#pcc1c994]
行を入れ替えると符号が反転する
&math(
\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}
);
*** 証明 [#c78216fd]
&math(
(左辺）\\
&=\phantom{-}\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_i\dots p_j\ \dots)\dots a_{ip_i}\dots a_{jp_j}\dots\\
&=\phantom{-}\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_i\dots p_j\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\
&=-\sum_{(\dots p_i\dots p_j\ \dots)}\varepsilon(\dots p_j\dots p_i\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\
&=-\sum_{(\dots p_j\dots p_i\ \dots)}\varepsilon(\dots p_j\dots p_i\ \dots)\dots a_{ip_j}\dots a_{jp_i}\dots\\
&=(右辺)
);
- １行目→２行目：実数の積の交換法則
- ２行目→３行目：順列要素の入れ替え
- ３行目→４行目：Σの添え字が変更になることで和を取る順番が変化するが、&math(n);次の順列すべてについて和を取れば、全体として現れる項は等しくなる。
** 行に対するその他の性質 [#q0b1d0e6]
*** 同じ値を持つ行が複数存在すると行列式はゼロ [#g78107b7]
等しい値の行を入れ替えても行列式の値は変わらないが、
同時に符号は反転するはず。
&math(\because\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix});
&math(x=-x); の解は &math(x=0); であるから、この行列式の値はゼロ。
*** ゼロ行を含む行列式はゼロ [#z56e5cce]
&math(\bm o=0\bm o); より、
&math(\because\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm o\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=0\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm o\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=0);
*** ある行の定数倍を別の行に加えても行列式の値は変化しない [#e8030686]
&math(\because&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j+c\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]c\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a_j\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix});
** 次数の低下（行方向） [#k4d335e0]
１列目が &math(a_{11}); を残してすべてゼロであるとき、
行列式を次数の１つ小さな行列式で表せる。
&math(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix});
*** 証明 [#acb6f94b]
(左辺)
&math(=\sum_{(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(p_1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n});
ここで、元の行列の形から &math(a_{k1}); は &math(k\ne 1); の時にゼロとなる。
一方、&math(p_1\ne 1); の項では &math(p_2\sim p_n); のうちどれかが必ず 1 になる。
&math(p_k=1); とすると、積 &math(a_{2p_2}\dots a_{np_n}); の中に &math(a_{kp_k}=a_{k1}); ただし &math(k\ne 1); が現れるから、そのような項はすべて消えてしまう。
結果として、&math(p_1=1); の項のみが残されて、
&math(&=\sum_{(1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{11}a_{2p_2}\dots a_{np_n}\\&=a_{11}\sum_{(1\ p_2\ \dots\ p_n)}\varepsilon(1\ p_2\ \dots\ p_n)a_{2p_2}\dots a_{np_n});
ここで、&math(n); 次の順列 &math((1\ p_2\ \dots\ p_n)); と
&math(n-1); 次の順列 &math((p_2\!-\!1\ \dots\ p_n\!-\!1)); とは同じ転倒数を持ち、符号も等しい。
さらに、前者が可能な値すべてを動くとき、後者は &math(n-1); 次の順列全てを動く。
したがって、&math((p_2\!-\!1\ \dots\ p_n\!-\!1)=(p'_1\ \dots\ p'_n)); と書けば、
&math(=a_{11}\sum_{(p'_1\ \dots\ p'_{n-1})}\varepsilon(p'_1\ \dots\ p'_{n-1})a_{2(p'_1+1)}\dots a_{n(p'_{n-1}+1)});
=(右辺)
*** 系 [#s1de0665]
- 上三角行列の行列式は対角成分の積に等しい~
~
&math(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\&a_{22}&\dots&a_{2n}\\&&\ddots&\vdots\\O&&&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn});
- 単位行列の行列式は１~
~
&math(|I|=1);
* 3.3 行に対する基本変形 [#z1260090]
** ある行を c 倍 [#obd64adc]
&math(|P_i(c)A|=c|A|);
&math(A=I); の時 &math(|P_i(c)|=c); より &math(|P_i(c)A|=|P_i(c)||A|); とも書ける
** ある行に別の行の c 倍を加えると行列式は変化しない [#pfe12347]
&math(|P_{ij}(c)A|=|A|);
&math(A=I); の時 &math(|P_{ij}(c)|=1); より &math(|P_{ij}(c)A|=|P_{ij}(c)||A|); とも書ける
** ある行と別の行とを入れ替えると行列式は反転 [#jd6af178]
&math(|P_{ij}A|=-|A|);
&math(A=I); の時 &math(|P_{ij}|=-1); より &math(|P_{ij}A|=|P_{ij}||A|); とも書ける
** 基本行列と行列式 [#dfb8cd06]
上で見た内容から、以下の２つの性質が明らかになった。
- 基本行列の行列式はゼロではない
- &math(P); が基本行列の時 &math(|PA|=|P||A|);
** 正則行列と行列式 (補題3.7) [#t46bc6fe]
任意の正則行列 &math(P); は基本行列の積で書けるから、
正方行列 &math(A); に正則行列 &math(P); を左から掛ける時
&math(|PA|=|P_k\cdots P_2P_1A|=|P_k||P_{k-1}|\cdots|P_2||P_1||A|=|P||A|);
* 正則行列と行列式 [#d196fbba]
- 正則行列の行列式はゼロではない
∵ &math(|A|=|P_k\cdots P_2P_1|=|P_k||P_{k-1}\cdots P_2P_1|=|P_k||P_{k-1}|\cdots|P_2||P_1|\ne 0);
- &math(A); が正則でない場合 &math(|A|=0);
∵ &math(PA=X); を階段行列とすると、&math(X); はゼロ行ベクトルを含むため、
&math(|PA|=|X|=0);
一方、(1) より &math(|PA|=|P||A|); であるから &math(|A|=0);
- 正則性の判定 : 以下はすべて同値な条件となる (定理3.9)
-- &math(A); が正則であること
-- &math(\rank A=n);
-- &math(|A|\ne 0);
- 逆行列の行列式 &math(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|});~
∵ &math(A^{-1}A=I); より &math(|A^{-1}|\,|A|=|I|=1);
* 積の行列式は行列式の積で表せる (定理3.8) [#e9d71600]
&math(A,B); を正方行列とすれば &math(|AB|=|A||B|); が成り立つ。
*** 証明 [#h4c884bf]
(1) &math(A); が正則な場合は既に証明した
(2) &math(A); が正則でない場合
&math(|A|=0); であり、また &math(AB); も正則でないため &math(|AB|=0);
したがって、&math(|AB|=|A||B|=0);
* 行列の転置と行列式 [#i160a367]
** 基本行列の転置をとっても行列式は変化しない [#xb0be8a7]
&math(P_i(c)); および &math(P_{ij}); は対称行列であるから自明。
&math(P_{ij}(c)); については、
&math(\left|\transpose P_{ij}(c)\right|=\left|P_{ji}(c)\right|=1=\left|P_{ij}(c)\right|);
** 転置をとっても行列式は変化しない [#i8895fed]
&math(A); が正則でなければ &math(\transpose A); も正則でないので、
&math(|A|=|\transpose A|=0);
&math(A); が正則ならば、基本行列の積で書けて
&math(&|\transpose A|=|\transpose (P_k\dots P_2P_1)|=|\transpose P_1 \transpose P_2\dots \transpose P_k|=|\transpose P_1||\transpose P_2|\dots|\transpose P_k|\\&=|P_1||P_2|\dots|P_k|=|P_1P_2\dots P_k|=|A|);
* 列に対する性質 [#ne249c82]
転置に対する定理のおかげで、行に対する性質はすべて列に対しても成立する。
+ { 行 or 列 } に対する多重線形性
+ { 行 or 列 } に対する交代性
+ { 行 or 列 } に対する基本変形
++ ある { 行 or 列 } を c 倍すると行列式も c 倍
++ ある { 行 or 列 } に別の { 行 or 列 } の c 倍を加えると行列式は変化しない
++ ある { 行 or 列 } と別の { 行 or 列 } とを入れ替えると行列式は反転
+ 次数の低下（{ 行 or 列 }方向）
+ { 行 or 列 } に対するその他の性質
++ 同じ値を持つ { 行 or 列 } が複数存在すると行列式はゼロ
++ ゼロの { 行 or 列 } を含む行列式はゼロ
* 次数の低下の一般公式 [#d1081daa]
ある行、あるいはある列が、１つの要素を除いてゼロの時、要素の添え字に依存する符号を付けて次数を低下できる。
&math(\begin{vmatrix}A&\vdots&B\\\bm o&a_{ij}&\bm o\\C&\vdots&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&\bm o&B\\\dots&a_{ij}&\dots\\C&\bm o&D\end{vmatrix}=(-1)^{i+j}a_{ij}\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix});
行方向に &math(i); 回、列方向に &math(j); 回、行を入れ替えることで、それぞれ
&math(=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{ij}&\bm o&\bm o\\\vdots&A&B\\\vdots&C&D\end{vmatrix});
&math(=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{ij}&\dots&\dots\\\bm o&A&B\\\bm o&C&D\end{vmatrix});
の形にでき、(1,1) 要素を前に出せば上記公式を得る。
* 一般の行列式の求め方 [#w8bbc1b5]
- 行および列に対する基本変形で、ある行または列を掃き出す
- 次数を低下する
を繰り返すことで、大きな行列でも行列式の値を計算できる。
* 3.4 行列式の展開 [#k37dc095]
** 余因子 [#y178e5f5]
ある行列 &math(A); を、&math(a_{ij}); を中心に次のように分割する。
&math(|A|=\begin{vmatrix}B&\bm ?&C\\\bm ?&a_{ij}&\bm ?\\D&\bm ?&E\end{vmatrix});
&math(i); 行目と &math(j); 列目を除いてできる行列式に符号を付けた
&math(\Tilde a_{ij}=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}B&C\\D&E\end{vmatrix});
を、&math(A); の &math((i,j)); 余因子と呼ぶ。
余因子を使うと、次数の低下を次のように書ける。
&math(\begin{vmatrix}B&\bm o&C\\\bm ?&a_{ij}&\bm ?\\D&\bm o&E\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}B&\bm ?&C\\\bm o&a_{ij}&\bm o\\D&\bm ?&E\end{vmatrix}=a_{ij}\Tilde a_{ij});
&math(\Tilde a_{ij}); の表式は &math(a_{ij}); を含まないことに注意せよ。
** i 行目に対する展開 [#t1dbf2af]
&math(\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&\hdots&a_{in}\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix});
&math(=\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]a_{i1}&0&0&\hdots&0\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]0&a_{i2}&0&\hdots&0\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix}+\dots+\begin{vmatrix}&&\text{\Large $\ast$}&&\\[10pt]0&0&0&\hdots&a_{in}\\[10pt]&&\text{\Large $\ast$}&&\\\end{vmatrix});
&math(=a_{i1}\Tilde a_{i1}+a_{i2}\Tilde a_{i2}+\dots+a_{in}\Tilde a_{in});
&math(=\sum_{k=1}^n a_{ik}\Tilde a_{ik}=|A|); （任意の &math(i); に対して成り立つ）
** j 列目に対する展開 [#t1dbf2af]
&math(\sum_{k=1}^n a_{kj}\Tilde a_{kj}=|A|); （任意の &math(j); に対して成り立つ）
** ゼロとなる和 [#z30a683a]
&math(i\ne i'); あるいは &math(j\ne j'); の時、
&math(\sum_{k=1}^n a_{i'k}\Tilde a_{ik}=0); （任意の &math(i\ne i'); に対して成り立つ）
&math(\sum_{k=1}^n a_{kj'}\Tilde a_{kj}=0); （任意の &math(j\ne j'); に対して成り立つ）
となる。
なぜならこれらは、
- &math(A); の &math(i); 行目に &math(i'); 行目と同じ行をコピーした
- &math(A); の &math(j); 列目に &math(j'); 行目と同じ行をコピーした
行列の行列式を、それぞれ &math(i); 行目、&math(j); 行目で展開した形であるため。
&math(|A'|=\begin{vmatrix}\hspace{10mm}\vdots\hspace{10mm}\\[-6pt]\bm a'_i\\[-4pt]\vdots\\[-6pt]\bm a'_i\\[-4pt]\vdots\end{vmatrix}=0);
&math(A); の &math((i,j)); 余因子と、~
&math(A'); の &math((i,j)); 余因子とは等しいことが重要である。
（そもそも &math(\Tilde a_ij); には &math(i); 行目の成分も &math(j); 行目の成分もまったく含まれない）
* 余因子行列と逆行列 [#c22fd6e5]
** 余因子行列 [#g68ecee0]
&math(\Tilde A=\transpose \,[\Tilde a_{ij}]=[\Tilde a_{ji}]=\begin{bmatrix}\Tilde a_{11}&\cdots&\Tilde a_{n1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\Tilde a_{1n}&\cdots&\Tilde a_{nn}\end{bmatrix});
** 余因子行列の性質 [#a64e8d03]
&math(A \Tilde A=\left[\,\sum_{k=1}^n a_{ik}\Tilde a_{jk}\,\right]=\Big[\,|A|\delta_{ij}\,\Big]);
&math(\Tilde A A=\left[\,\sum_{k=1}^n \Tilde a_{ki}a_{kj}\,\right]=\Big[\,|A|\delta_{ij}\,\Big]);
すなわち、
&math(A\Tilde A=\Tilde AA=|A|I);
&math(\frac{1}{|A|}\Tilde A=A^{-1});
ここからも、&math(|A|\ne 0); であれば &math(A); が正則であることを確認できる。
* クラメル(Cramer)の公式 [#qde444eb]
連立一次方程式を &math(A\bm x=\bm b);、その解を &math(\bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}); とすると、&math(|A|\ne 0); のとき
&math(x_1=\frac{|\bm b\ \bm a_2\ \bm a_3\ \dots\ \bm a_n|}{|A|});
&math(x_2=\frac{|\bm a_1\ \bm b\ \bm a_3\ \dots\ \bm a_n|}{|A|});
・・・
&math(x_n=\frac{|\bm a_1\ \bm a_2\ \bm a_3\ \dots\ \bm b|}{|A|});
と表せる。
*** 証明 [#w95aedb3]
&math(A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\hdots&a_n\end{bmatrix}); のように列ベクトルに分割する。
&math(\bm b=A\bm x=x_1\bm a_1+x_2\bm a_2+\dots x_n\bm a_n=\sum_{k=1}^n x_k\bm a_k);
したがって、
&math(\Big|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \bm b\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\Big|);
&math(=\left|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \left(\sum_{k=1}^n x_k\bm a_k\right)\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\right|);
&math(=\sum_{k=1}^n x_k\Big|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \bm a_k\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\Big|);
&math(=x_i\Big|\bm a_1\ \dots\ \bm a_{i-1}\ \bm a_i\ \bm a_{i+1}\ \dots\ \bm a_n\Big|);
&math(=x_i|A|);
両辺を &math(|A|); で割れば与式を得る。
* コメント [#ze07bf42]
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