4章A-置換を用いた行列式の導出 のバックアップ(No.1)

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線形代数I

行列式の定義

n 次の正方行列 A に対して、行列式 \det A あるいは |A| を次の3つの性質を持つとして定義する。

1. 交代性:

任意の列ベクトルを交換すると、符号が反転する。

&|\bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_i\ \hdots\ \bm{a}_j\ \hdots\ \bm{a}_n| = \\ -&|\bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_j\ \hdots\ \bm{a}_i\ \hdots\ \bm{a}_n|

2. n 重線形性:

どの列ベクトルに対しても線形である。 &|\bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \alpha\ \bm{a}_i + \beta \bm{b}_i\ \hdots\ \bm{a}_n|=\\ &\alpha |\bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_i\ \hdots\ \bm{a}_n| + \beta |\bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{b}_i\ \hdots\ \bm{a}_n| \\

v3. 単位行列の行列式:

単位行列の行列式は1である。

\left| \begin{array}{cccc} 1&0&\hdots&0 \\ 0&\ddots& &\vdots \\ \vdots& &\ddots&0 \\ 0&\hdots&0&1 \end{array} \right| = 1

行列式の具体的な形

上記3つの性質を使って行列式の具体的な形を以下のようにして導くことができる。

始めに

A=(a_{ij})=(\bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_n)

と置こう。

標準基底 \bm{e}_i=\!^t\,(0\ \hdots\ 1\ \hdots\ 0) を使って \bm{a}_1 を展開すると、

\bm{a}_1=\sum_{i=1}^n a_{i1}\bm{e}_i

と書ける。これを代入して A の行列式を展開すると

\det A &= \left| \bm{a}_1\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_n \right| \\ &= \left| \left( \sum_{i=1}^n a_{i1}\bm{e}_i \right) \ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_n \right| \\ &= \sum_{i=1}^n a_{i1} \left| \bm{e}_i\ \bm{a}_2\ \hdots\ \bm{a}_n \right|

とできる。同様に \bm{a}_2 を展開すると

&= \sum_{i=1}^n a_{i1} \sum_{j=1}^n a_{j2} \left| \bm{e}_i\ \bm{e}_j\ \hdots\ \bm{a}_n \right|

となり、以下これを繰り返すことで

&= \sum_{i_1=1}^n a_{i_11} \sum_{i_2=1}^n a_{i_22} \dots \sum_{i_n=1}^n a_{i_nn} \left| \bm{e}_{i_1}\ \bm{e}_{i_2}\ \hdots\ \bm{e}_{i_n} \right|\\ &= \sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n \dots \sum_{i_n=1}^n a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} \left| \bm{e}_{i_1}\ \bm{e}_{i_2}\ \hdots\ \bm{e}_{i_n} \right|

とできる。

この式は各列からそれぞれ1つずつ行列要素を取り出して掛け算し( a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} の部分)、 取り出した位置のみに1を立てた行列の行列式( \left| \bm{e}_{i_1}\ \bm{e}_{i_2}\ \hdots\ \bm{e}_{i_n} \right| の部分)を かけて足し合わせたものになっている。項数は n^n 個であり n とともに爆発的に大きな値となる。


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