線形代数II/代数学的構造 のバックアップ(No.2)

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線形代数Ⅱ?

代数学とは

この授業は「線形代数」だ。

これまでに「線形」の意味は教わった。

f(\bm x) が線形とは: f(a \bm x+b \bm y)=a f(\bm x)+b f(\bm y) が成り立つこと

では「代数学」とは?

これまで様々な「数」を学んできた。

  • \mathbb N 自然数 = 加算・乗算について閉じている  a+b, a\times b
  • \mathbb Z 整数  = 減算についても閉じている a-b
  • \mathbb Q 有理数 = 除算についても「ほぼ」閉じている a/b (ゼロは例外)
  • \mathbb R 実数  = 収束する有理数列の極限演算についても閉じている \lim_{n\rightarrow\infty}a_n
  • \mathbb C 複素数 = 負数の開根操作についても閉じている \sqrt{-1}

\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C であり、新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大してきた。

  • 解析学は主に \mathbb R または \mathbb C の上、 あるいは \mathbb R^n \mathbb C^n の上で、極限や微積分を扱う数学である

代数学は \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C の系列から外れて、
例えば、

乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合

などというように、「何らかの演算」が定義された「数の集合」を定め、 そこに現れる「構造」を研究する。

これから学ぶ「ベクトル」も上でいう「数」の一員である。

代数学的構造の例: 群

ある集合 \mathbb U にある演算 * が定義され、 \mathbb U * について「閉じている」とする。
(すなわち \forall x,\forall y \in \mathbb U について x*y\in \mathbb U )

( 「 \forall x\in \mathbb U について」 は、「任意の \mathbb U の元 x について」 という意味 )

さらにこの演算が次の公理を満たすものとする。

  1. \forall a,\forall b,\forall c\in \mathbb U に対して結合法則 (a*b)*c=a*(b*c) が成り立つ
  2. \forall x \in \mathbb U に対して e*x=x*e=x を満たすような特別な元(単位元) e\in \mathbb U が存在する
  3. \forall x \in \mathbb U に対して、 x*y=y*x=e を満たすような元(逆元) y\in \mathbb U が存在する

このとき、「 \mathbb U は演算 * について群である」 という。

群の例

一見すると、 \mathbb U を有理数 \mathbb Q * を通常の乗算 \times と考えれば群の公理を満たしそうに思えるが、 0\in \mathbb Q が逆元を持たないため、 有理数 \mathbb Q は乗算 \times について群とはならない。

\mathbb U を有理数 \mathbb Q からゼロを除いた集合とすれば、この集合は群となる。

\mathbb U を整数 \mathbb Z * を通常の加算 + 、単位元を 0 と考えると公理を満たすから、 \mathbb Z は加算について群である。(加算の単位元 0 であることに注意)

\mathbb U k の倍数 \set{nk|n\in \mathbb Z} * を通常の加算 + 、単位元を 0 と考えると、これも群を為す。

群の要素数が有限である場合もある。

自明な群: \mathbb U={1} に対して、 1*1=1 と定義すれば、 \mathbb U は群である。

\mathbb U={a,b,c} に対して、演算 *

*abc
aabc
bbca
ccab

と定義すれば、 \mathbb U は群である。
ただしこの表は、 (左に書かれた数)*(上に書かれた数) の演算結果を示した物である。

元の数が有限の場合、「演算」はこのように表を作ることで任意に定義できる。

ただし、例えばこの表を、

*abc
aabc
bbcb
ccba

とすると、 (c*b)*b=b*b=c\ne c*(b*c)=c*b=b となって結合法則を満たさなくなり、 \mathbb U は群ではなくなる。

「群」の公理は上のように単純なものであるが、 その数学的構造は非常に奥深く、群論だけで数学の1分野となる。

応用理工の数学カリキュラムでは群論の詳細には立ち入らないが、 結晶学や分子振動における点群や、 ゲージ理論などにおける対称性に関する議論に重要な応用があるため どこかでまた学ぶことになるかもしれない。

その他の代数的構造

  • 半群 = 群の公理から 2., 3. を除いて 1. のみを公理とする
  • 群 = 上記
  • 可換群 = 群の公理に交換律 a*b=b*a を加える
  • 体 = 2つの演算 +,* を持ち、 + に対して可換群、0 を除いて * に対しても可換群であり、さらに分配法則 a*(b+c)=a*b+a*c が成立する(つまり、四則演算ができる)

有理数 \mathbb Q や実数 \mathbb R 、複素数 \mathbb C は 自由に四則演算の行える構造を持ち、「体」である。 そこでしばしば 有理体、実数体、複素数体 などとも呼ばれる。

これ以外にも様々な代数的構造が研究されている。

代数的構造の意味

「代数的構造」の優れた点は数学的に類似の構造を持つ対象を抜き出して、 それらをまとめて議論できる点にある。

異なる対称の「類似点」を公理の形で記し、公理のみを基に定理を導くことにより、 個々の対象に依存せず、すべての対象に適用可能な結論を導くことができる。

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