射影・直和・直交直和 のバックアップ(No.1)

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ベクトルの成分

ある規格化されたベクトル \bm e が与えられ、
別のベクトル \bm x \bm e に平行な成分 \bm x_{\parallel} と、 \bm e に平行な成分 \bm x_{\perp} とに分けることを考える。

\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x{\perp}

\bm x_{\parallel} \bm e と平行なので、

\bm x_{\parallel}=x_{\parallel} \bm e

と書き直すと、

\bm x=x_{\parallel}\bm e+\bm x{\perp}

両辺に \bm e を左からかけることで、

(\bm e,\bm x)=x_{\parallel}

が得られるので、

\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e
\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e

としてこれらのベクトルを求められる。

この \bm x_\parallel \bm x \bm e 方向成分と呼ぶ。

射影演算子

&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e (\bm e,\bm x)\\ &=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\ &=P_{\bm e} \bm x );

ただし、 P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger と書けば、 この行列は \bm x から \bm e 方向成分を取り出す行列となる。


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