射影・直和・直交直和 のバックアップ(No.2)

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ベクトルの成分

ある規格化されたベクトル \bm e が与えられ、
別のベクトル \bm x \bm e に平行な成分 \bm x_{\parallel} と、 \bm e に平行な成分 \bm x_{\perp} とに分けることを考える。

\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x{\perp}

\bm x_{\parallel} \bm e と平行なので、

\bm x_{\parallel}=x_{\parallel} \bm e

と書き直すと、

\bm x=x_{\parallel}\bm e+\bm x{\perp}

両辺に左から \bm e をかけることで、

(\bm e,\bm x)=x_{\parallel}

が得られ、

\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e
\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e

としてこれらのベクトルを求められる。
(同じことをグラム・シュミットの直交化の中で行った)

この \bm x_\parallel \bm x \bm e 方向成分と呼ぶ。

注意

複素ベクトルに対しては (\bm x,\bm e)\ne(\bm e,\bm x) なので、 どちらから掛けるかが重要になる。

(\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel} だが、 (x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}} となってしまう。

射影演算子

&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e (\bm e,\bm x)\\ &=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\ &=P_{\bm e} \bm x );

ただし、 P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger である。

この行列は \bm x から \bm e 方向成分を取り出す行列となる。

P_{\bm e} \bm e 軸への射影演算子と呼ぶ。

射影演算子はエルミート行列になる。

\big(P_{\bm e}\big)_{ij}=e_j \overline{e_i}

\big(P_{\bm e}\big)_{ji}=e_i \overline{e_j}=\overline{(e_j \overline{e_i})}

より、 \big(P_{\bm e}\big)_{ji}=\overline{\big(P_{\bm e}\big)_{ij}}

直和

あるベクトルを「成分」に分ける話を一般化する。

W_1,W_2,\dots,W_r V の部分空間とし、
W_k の基底をすべて合わせると V の基底となる場合、
その基底を B=\langle\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n\rangle とすると、

&math( \bm x&=\underbrace{x_1\bm b_1+x_2\bm b_2}_{\bm x_1\in W_1}

  1. \underbrace{x_3\bm b_3+\ \ }_{\bm x_2\in W_2} \dots\underbrace{\ \ +x_n\bm b_n}_{\bm x_r\in W_r}\\ &=\bm x_1+\bm x_2+\dots+\bm x_r );

のように、 \{W_k\} のベクトル \{\bm x_k\} W_k 成分)の和として一意に表せる。

このような場合に V=W_1\dot +W_2\dot +W_3\dot +\dots\dot +W_r と書き、
V W_1,W_2,\dots,W_r の直和である、という。

具体的な \bm x_k の値を求めるには、 基底 B に対する \bm x の成分をすべて求めないとならないが、 一般にこれはそれほど簡単ではない。

直交直和

W_k 正規直交基底をすべて合わせると V 正規直交基底となる場合、 V=W_1\oplus W_2\oplus W_3\oplus \dots\oplus W_r と書き、
V W_1,W_2,\dots,W_r の直交直和である、という。


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