復習:行列とその演算 のバックアップ(No.2)

更新


線形代数II

演習

(1) A 2\times 3 行列であり、 A=(a_{ij}) ただし a_{ij}=3i-2j と表せる。 A を通常の行列表示で表せ。

(2) 上記 A の転置行列 {}^t\!A を答えよ。

(3) n 次正方行列 A=(a_{ij}),B=(b_{ij}) に対して、 C=(c_{ij})=A+B D=(d_{ij})=AB とする。 c_{ij},d_{ij} a_{ij},b_{ij} で表せ。 また、 {}^t\!(AB)={}^t\!D={}^t\!B{}^t\!A を証明せよ。

(4) A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} に対して、 A A^{-1}=A^{-1}A=E を確かめよ。ただし |A|=ad-bc\ne 0 とする。

(5) 行列の積は次のように小行列へ分割して計算可能なことを確かめよ。
&math( \left(\begin{array}{cc|c} a&b&c\\ d&e&f\\\hline g&h&i\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} j&k\\ l&m\\\hline n&o\\ \end{array} \right) =\begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E\\F \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} AE+BF\\ CE+DF \end{pmatrix} );

ただし、例えば A=\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}c\\f\end{pmatrix} などとする。

解答例と解説

(1)

m\times n 行列は、 m n 列 の行列のことであり、 A=(a_{ij}) i j 列成分が a_{ij} であることを表す。常に、「行→列」 の順に記述すると覚えればよい。Matrix を「行列」と訳した人に感謝せよ。

行列は横書き文化圏から来た概念なので、「行」は上から下へ数える。「列」は左から右に数える。

したがって、

&math( A&=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (3\cdot 1-2\cdot 1)&(3\cdot 1-2\cdot 2)&(3\cdot 1-2 \cdot 3)\\ (3\cdot 2-2\cdot 1)&(3\cdot 2-2\cdot 2)&(3\cdot 2-2 \cdot 3)\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&-1&-3\\ 4&2&0 \end{pmatrix}\\ );

(2)

m\times n 行列の転置行列は n\times m 行列で、 A=(a_{ij}) に対して {}^t\!A=(a_{ji}) であるから、

&math({}^t\!A=\begin{pmatrix} 1&4\\ -1&2\\ -3&0 \end{pmatrix}\\ );

(3)

c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

d_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

D=ABC であれば、 d_{ij}=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n a_{ik}b_{kl}c_{lj} となる。

{}^t\!D=(d_{ji})

d_{ji}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}=\sum_{k=1}^n b_{ki}a_{jk}

b_{ki},a_{jk} はそれぞれ {}^t\!B (i,k) 成分、 {}^t\!A (k,j) 成分に等しいから、右辺は {}^t\!B{}^t\!A (i,j) 成分に等しい。

すなわち、 {}^t\!D={}^t\!(AB)={}^t\!B{}^t\!A

(4)

&math( AA^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\,\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&\cancel{-ab+ab}\\\cancel{cd-cd}&-bc+ad\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} );

&math( A^{-1}A=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&\cancel{bd-bd}\\\cancel{ac-ac}&-bc+ad\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} );

(5)

&math( \left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} j&k\\ l&m\\ n&o\\ \end{array} \right)= \left(\begin{array}{cc} aj+bl+cn&ak+bm+co\\ dj+el+fn&dk+em+fo\\ gj+hl+in&gk+hm+io\\ \end{array}\right) );

一方、

&math( \begin{pmatrix} AE+BF\\ CE+DF \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} aj+bl&ak+bm\\ dj+el&dk+em \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} cn&co\\ fn&fo \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} gj+hl&gk+hm \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} in&io \end{pmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} aj+bl+cn&ak+bm+co\\ dj+el+fn&dk+em+fo \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} gj+hl+in&gk+hm+io \end{pmatrix} \end{pmatrix} );


Counter: 4392 (from 2010/06/03), today: 2, yesterday: 0