正規行列の対角化可能性 のバックアップ(No.1)

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線形代数Ⅱ?

正規行列

A^\dagger A=A A^\dagger

ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列

U をユニタリ行列 ( U\dagger=U^{-1} )、 \Lambda を対角行列として( \Lambda \lambda の大文字)、

&math( U^\dagger A U=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix});

が成り立つとき、

A=U\Lambda U^\dagger より、

&math( A^\dagger=(U\Lambda U^\dagger)^\dagger=U\Lambda^\dagger U^\dagger=U\overline{\Lambda}U^\dagger );

したがって、

AA^\dagger=U\Lambda U^\dagger U\overline{\Lambda} U^\dagger=U\Lambda \overline{\Lambda} U^\dagger

A^\dagger A=U\overline{\Lambda} U^\dagger U\Lambda U^\dagger=U\overline{\Lambda} \Lambda U^\dagger

ここで、

&math( \Lambda \overline{\Lambda}=\overline{\Lambda}\Lambda= \begin{pmatrix} |\lambda_1|^2\\ &|\lambda_2|^2\\ &&\ddots\\ &&&|\lambda_n|^2 \end{pmatrix} );

であるから、 AA^\dagger=A^\dagger A が証明された。

正規行列であればユニタリ行列により対角化可能


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