正規行列の対角化可能性 のバックアップソース(No.1)

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[[線形代数Ⅱ]]

* 正規行列 [#ua361752]

&math(A^\dagger A=A A^\dagger);

* ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列 [#p2b1755b]

&math(U); をユニタリ行列 (&math(U\dagger=U^{-1});)、
&math(\Lambda); を対角行列として(&math(\Lambda); は &math(\lambda); の大文字)、

&math(
U^\dagger A U=\Lambda=
\begin{pmatrix}
\lambda_1\\ 
&\lambda_2\\
&&\ddots\\
&&&\lambda_n
\end{pmatrix});

が成り立つとき、

&math(A=U\Lambda U^\dagger); より、

&math(
A^\dagger=(U\Lambda U^\dagger)^\dagger=U\Lambda^\dagger U^\dagger=U\overline{\Lambda}U^\dagger
);

したがって、

&math(AA^\dagger=U\Lambda U^\dagger U\overline{\Lambda} U^\dagger=U\Lambda \overline{\Lambda} U^\dagger);

&math(A^\dagger A=U\overline{\Lambda} U^\dagger U\Lambda U^\dagger=U\overline{\Lambda} \Lambda U^\dagger);

ここで、

&math(
\Lambda \overline{\Lambda}=\overline{\Lambda}\Lambda=
\begin{pmatrix}
|\lambda_1|^2\\ 
&|\lambda_2|^2\\
&&\ddots\\
&&&|\lambda_n|^2
\end{pmatrix}
);

であるから、&math(AA^\dagger=A^\dagger A); が証明された。

* 正規行列であればユニタリ行列により対角化可能 [#hbdaa52d]

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