線形独立、基底及び次元/次元の一意性 のバックアップソース(No.1)

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[[線形代数Ⅱ/線形独立、基底及び次元]]

* 次元の一意性を証明する [#a90cc8f1]

基底を構成するベクトルの数を線形空間の「次元」と呼ぶ。

ある空間 &math(V); について、基底の取り方には任意性があるが、「次元」は一意に決まる。

これは、

- &math(n); 個のベクトルにより張られる空間から、&math(n); 個以上の線形独立なベクトルを取り出すことはできない。

ことからの帰結である。ここから、

- &math(n); 次元空間を &math(n); 個以下のベクトルで張ることはできない。
- &math(n); 次元空間に &math(n); 個以上の線形独立なベクトルの組を見つけることはできない。

が導けて、これがすなわち次元の一意性を表わす。

* $n$ 個のベクトルにより張られる空間から、$n$ 個以上の線形独立なベクトルを取り出すことはできない [#af812613]

&math(m>n); として、&math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_m); がすべて 
&math(\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n); の線形結合で表せるとする。

すなわち、

&math(\bm a_i=\sum_{j=1}^n c_{ij}\bm b_j);

である。

&math(\sum_{i=1}^m d_i \bm a_i=\bm 0);

に上式を代入すると、

&math(
\sum_{i=1}^m d_i \sum_{j=1}^n c_{ij}\bm b_j=\bm 0\\
\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^m d_i c_{ij}\right)\bm b_j=\bm 0\\
);

この式は、すべての &math(j); について、

&math(
\sum_{i=1}^m d_i c_{ij}=
\begin{pmatrix}c_{1j}&&c_{2j}&&\dots&&c_{mj}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}d_1\\d_2\\\vdots\\d_m\end{pmatrix}=0
);

を満たせば必ず成り立つ。それらの条件をまとめて書けば、

&math(
\begin{pmatrix}
c_{11}&&c_{21}&&\dots&&c_{m1}\\
c_{12}&&c_{22}&&     &&\vdots\\
\vdots&&      &&\ddots&&\vdots\\
c_{1n}&&\dots&&\dots&&c_{mn}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}d_1\\d_2\\\vdots\\d_m\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}
);

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