線形代数II/行列の関数 のバックアップソース(No.1)

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[[線形代数Ⅱ]]


対角行列の性質を確認する。

** 対角行列の累乗 [#y3d82efa]

対角行列 &math(D); を

&math(D=\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix});

とすれば、

&math(D^2=\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&d^2\end{pmatrix});

である。

同様に、

&math(D^m=\begin{pmatrix}a^m&0\\0&d^m\end{pmatrix});

となる。

** 対角行列の多項式 [#v94b7d4f]

&math(\alpha D^l+\beta D^m=\alpha \begin{pmatrix}a^l&0\\0&d^l\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}a^m&0\\0&d^m\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\alpha a^l+\beta a^m&0\\0&\alpha d^l+\beta d^m\end{pmatrix});

元の式 &math(\alpha D^l+\beta D^m); と、~
結果の対角要素 &math(\alpha a^l+\beta a^m);、&math(\alpha d^l+\beta d^m); ~
の類似性に注目せよ。

** 一般の行列の累乗 [#l3589701]

&math(A); を &math(n); 次の行列として、&math(P); により対角化可能とする。

&math(P^{-1}AP=D=
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&\dots&0\\
0&\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&0\\
0&\dots&0&\lambda_n
\end{pmatrix}
);

すると、

&math((P^{-1}AP)^m=P^{-1}APP^{-1}AP\dots P^{-1}AP=
P^{-1}A^mP=
\begin{pmatrix}
\lambda_1^m&0&\dots&0\\
0&\lambda_2^m&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&0\\
0&\dots&0&\lambda_n^m
\end{pmatrix}
);

より、

&math(A^m =
P \begin{pmatrix}
\lambda_1^m&0&\dots&0\\
0&\lambda_2^m&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&0\\
0&\dots&0&\lambda_n^m
\end{pmatrix} P^{-1}
);

と表せる。

左辺を普通に計算しようとすれば &math(m-1); 回の行列のかけ算が必要になるが、
右辺は数値の &math(m); 乗と、2回の行列のかけ算で済むため計算量が少なく、
また理論的にも見通しがよい。

** 一般の行列の多項式 [#s10b8802]

&math(g(x)); を任意の多項式として、

&math(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots=\sum_{k=0}a_kx^k);

&math(g(A)); を次のように定義する。

&math(g(A)=a_0\red{I}+a_1A+a_2A^2+a_3A^3+\dots=\sum_{k=0}a_kA^k);

(ゼロ次項に単位行列が掛かっていることに注意せよ)

すると、

&math(g(P^{-1}AP)&=a_0I+a_1(P^{-1}AP)+a_2(P^{-1}AP)^2+a_3(P^{-1}AP)^3+\dots\\
&=a_0P^{-1}P+a_1(P^{-1}AP)+a_2(P^{-1}AP)^2+a_3(P^{-1}AP)^3+\dots\\
&=a_0P^{-1}P+a_1P^{-1}AP+a_2P^{-1}A^2P+a_3P^{-1}A^3P+\dots\\
&=P^{-1}(a_0+a_1A+a_2A^2+a_3A^3+\dots)P\\
&=P^{-1}g(A)P\\
&= \begin{pmatrix}
g(\lambda_1)&0&\dots&0\\
0&g(\lambda_2)&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&0\\
0&\dots&0&g(\lambda_n)
\end{pmatrix} 
);

したがって、

&math(
g(A)=
&= P \begin{pmatrix}
g(\lambda_1)&0&\dots&0\\
0&g(\lambda_2)&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&0\\
0&\dots&0&g(\lambda_n)
\end{pmatrix} P^{-1}
);

のように、任意の行列の多項式を、対角化を用いて固有値の多項式に関連づけることができる。

** 行列の超関数 [#u126bcdc]

指数関数のテイラー展開は、

&math(e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\dots=\sum_{k=0} \frac{1}{k!}x^k);

であるから、

&math(ae^{bA}=a\sum_{k=0} \frac{1}{k!}(bA)^k=
aP \begin{pmatrix}
g(b\lambda_1)&0&\dots&0\\
0&g(b\lambda_2)&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&0\\
0&\dots&0&g(b\lambda_n)
\end{pmatrix} P^{-1});

などとして、「行列の指数関数」を定義できる。

このような関数が量子力学他で利用される。

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