解析力学/正準変換 のバックアップ差分(No.3)

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* 目次 [#wc2a71bb]

#contents

&katex();

* 正準変換 [#lc60147c]

ラグランジアン力学が、

$$
Q_i=Q_i(q_1,q_2,\dots,q_n) \ \ \ (i=1,2,\dots,n)
$$

の形の任意の変数変換に対して共変性を持っていることを

- [[ラグランジュの運動方程式の共変性>解析力学/ラグランジアン#kf999ae0]]
- [[ハミルトニアンは座標によらない物理量である>解析力学/ラグランジアン#d447be4d]]

において見た。

これに対してハミルトン力学はさらに広い変数変換、

$$
Q_i=Q_i(q_1,q_2,\dots,q_n,p_1,p_2,\dots,p_n)
$$

$$
P_i=P_i(q_1,q_2,\dots,q_n,p_1,p_2,\dots,p_n)
$$

に対して共変な理論となることが知られている。

このとき、ハミルトニアンも $H\to H'$ と変換するとして、この新たなハミルトニアン $H'$ に対して

$$
\dot Q_i=\frac{\partial H'}{\partial P_i}
$$
$$
\dot P_i=-\frac{\partial H'}{\partial Q_i}
$$

が成り立つ、というのがここで言う共変性だ。

** 母関数 $W$ [#k9eabd47]

そのような $Q_i,P_i,H'$ をどのように見つけたら良いかの指針として、

$$
\dot W=\sum_{i=1}^np_i\dot q_i-\sum_{i=1}^nP_i\dot Q_i-H+H'
$$

を満たす関数 $W$ が存在することが上記の変換を与える必要十分条件になることを以下のように示せる。

この $W$ は正準変換の母関数(generating function)と呼ばれる。

上記の条件が成り立つとき、任意の $\delta Q_i, \delta P_i$ ただし $\delta Q_i(t_1)=\delta Q_i(t_2)=0$ なる変位に対する作用の変化は、

$$
\begin{aligned}
\delta S&=\delta\int_{t_1}^{t_2}\bigg[\sum_{i=1}^nP_i\dot Q_i-H'\bigg]dt\\
&=\delta\int_{t_1}^{t_2}\bigg[\sum_{i=1}^np_i\dot q_i-H-\dot W\bigg]dt\\
&=\bigg[\sum_{i=1}^np_i\delta q_i-\delta W\bigg]_{t_1}^{t_2}\\
\end{aligned}
$$

となる。正準変換では、$\delta Q_i(t_1)=\delta Q_i(t_2)=0$ は $\delta q_i(t_1),\delta q_i(t_2)$ がゼロになることを意味しないため、部分積分で出てくる $p_i\delta q_i$ の項は消えずに残ってしまう。

しかし上記の条件が成り立つとき、

$$
dW=\sum_{i=1}^np_idq_i-\sum_{i=1}^nP_idQ_i-(H-H')dt
$$

より、

$$
\delta W=\sum_{j=1}^np_j\delta q_j-\sum_{i=1}^nP_i\delta Q_i
$$

であるから、これを代入すると、

$$\delta S=\bigg[\sum_{i=1}^nP_i\delta Q_i\bigg]_{t_1}^{t_2}$$

となり、確かに $\delta Q_i(t_1)=\delta Q_i(t_2)=0$ の条件下で $\delta S=0$ となることを確かめられる。

これを逆にたどることで上記の条件が成り立たなければ変分がゼロにならないことも恐らく言えて、必要性も示せるのだと思う。

** 変数変換に対する条件式 [#ga9ee3c6]

上でも示した全微分

$$
dW=\sum_{i=1}^np_idq_i-\sum_{i=1}^nP_idQ_i-(H'-H)dt
$$

より、 $W$ を $W(q_1,q_2,\dots,q_n,Q_1,Q_2,\dots,Q_n,t)$ の形に表した場合に、

$$
p_i=\frac{\partial W_1}{\partial q_i}, \ \ \ P_i=-\frac{\partial W_1}{\partial Q_i}, \ \ \ H=H'+\frac{\partial W_1}{\partial t}
$$

を満たす変換が正準変換を与えることを示している。

一方、

$$dW=\sum_{i=1}^np_idq_i-\sum_{i\ne j}^nP_idQ_i+Q_jdP_j-d(P_jQ_j)-(H'-H)dt$$

を利用して $Q_i$ を $P_i$ に変数変換すれば、

$$d(W+P_jQ_j)=dW_2=\sum_{i=1}^np_idq_i-\sum_{i\ne j}^nP_idQ_i+Q_jdP_j-(H'-H)dt$$

となるから、$W_2$ を $Q_i$ の代りに $P_i$ を用いた関数として表すと、

$$
p_i=\frac{\partial W_2}{\partial q_i}, \ \ \ P_i=-\frac{\partial W_2}{\partial Q_i}, \ \ \ (i\ne j)
p_i=\frac{\partial W_2}{\partial q_i}, \ \ \ P_i=-\frac{\partial W_2}{\partial Q_i}, \ \ \ (i\,\cancel=\, j)
$$

$$
p_j=\frac{\partial W_2}{\partial q_i}, \ \ \ Q_j=\frac{\partial W_2}{\partial P_i}, \ \ \ H=H'+\frac{\partial W}{\partial t}=H'+\frac{\partial W_2}{\partial t}
$$

が正準変換を与える条件になる。

同様に、$W_3=W-p_jq_j$ として $q_j$ の代りに $p_j$ を変数に取れば、

$$
q_j=-\frac{\partial W_3}{\partial p_j}, \ \ \ P_j=-\frac{\partial W_3}{\partial Q_j}, \ \ \ H=H'+\frac{\partial W}{\partial t}=H'+\frac{\partial W_3}{\partial t}
$$

が、$W_4=W-p_jq_j+P_jQ_j$ として $q_j$ の代りに $p_j$、$Q_j$ の代りに $P_j$ を変数に取れば、

$$
q_j=-\frac{\partial W_4}{\partial p_j}, \ \ \ Q_j=\frac{\partial W_4}{\partial P_j}, \ \ \ H=H'+\frac{\partial W}{\partial t}=H'+\frac{\partial W_4}{\partial t}
$$

が、正準変換を与える条件になる。

$W$ を使った条件と、$W_2,W_3,W_4$ を使った条件とは独立なものではなく、同じ条件を別の形で表したものに過ぎないことを理解せよ。$W$ で表した条件が満たされるとき、それを変数変換してみれば $W_2,W_3,W_4$ で表した条件は自動的に満たされる。

一番見やすい表示をすれば良いことになる。

** 一般の場合 [#b8692b94]

一般には、各 $i$ に対して $q_i,p_i$ のうちどちらか１つ、$Q_i,P_i$ のうちどちらか１つ、を選び、それらを引数として構成された $W$ を考える。例えば、

$$
W=W(q_1,Q_1,q_2,P_2,p_3,Q_3,p_4,P_4,t)
$$

このとき、

$q_1,Q_1$ が選ばれているから、

$$p_1=\frac{\partial W}{\partial q_1}, \ \ \ P_1=-\frac{\partial W}{\partial Q_1}$$

$q_2,P_2$ が選ばれているから、

$$p_2=\frac{\partial W}{\partial q_2}, \ \ \ Q_2=\frac{\partial W}{\partial P_2}$$

$p_3,Q_3$ が選ばれているから、

$$q_3=-\frac{\partial W}{\partial p_3}, \ \ \ P_3=-\frac{\partial W}{\partial Q_3}$$

$p_4,P_4$ が選ばれているから、

$$q_4=-\frac{\partial W}{\partial p_4}, \ \ \ Q_4=\frac{\partial W}{\partial P_4}$$

そして、

$$H'=H+\frac{\partial W}{\partial t}$$

を満たせばこれが正準変換を与える。

これを $W'(q_1,P_1,q_2,P_2,p_3,Q_3,p_4,P_4,t)=W-P_1Q_1$ のようにルジャンドル変換して上記の条件を

$$Q_i=\frac{\partial W'}{\partial P_1}$$
$$Q_1=\frac{\partial W'}{\partial P_1}$$

と変更しても、上記の条件が与えるのと同じ正準変換を与えることになる。
つまり、２つの条件は同値である。

$W$ の条件と $W_2,W_3,W_4$ の条件とが同値であることを正しく理解していれば、上記の他に正準変換が存在しないことに納得できるはずだ。
** 実は自信が無かったりします [#x0066ce7]

このあたり、いくつか教科書をあたってみたものの、ちゃんと書かれているものが見つからず、
いまいち自信の無いまま書いていたりします。
** $H'=H$ であることも多い [#l39a742d]

- $\delta S$ に残る $\displaystyle\sum_{i=1}^np_i\delta q_i$ の評価
- $W_1$ と $W_2,W_3,W_4$ の条件の同値性
以下の例でも見るが、$W$ が時間を露わに含まない限りハミルトニアン自体は変化しない。

についてしっかりと言及されていることは少ないようです？
$$H'=H$$

上記の解説が正しいと良いのですが。
すなわち、

$$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\ \ \ \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

に対して変換後も

$$\dot Q_i=\frac{\partial H}{\partial P_i},\ \ \ \dot P_i=-\frac{\partial H}{\partial Q_i}$$

が成り立つ。

このとき正準条件はより直接的な形に書くことができる。

$$
\begin{aligned}
\dot Q_i
&=\sum_{j=1}^n\bigg[\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\dot p_j\bigg]\\
&=\sum_{j=1}^n\bigg[\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}-\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j}\bigg]\\
\end{aligned}
$$

と、

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial H}{\partial P_i}
&=\sum_{j=1}^n\bigg[\frac{\partial q_j}{\partial P_i}\frac{\partial H}{\partial q_j}+\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\frac{\partial H}{\partial p_j}\bigg]\\
\end{aligned}
$$

とを比較して、

$$
\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}=\frac{\partial p_j}{\partial P_i},\ \ \ \ -\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}=\frac{\partial q_j}{\partial P_i}
$$

同様に、

$$
\begin{aligned}
\dot P_i
&=\sum_{j=1}^n\bigg[\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\dot p_j\bigg]\\
&=\sum_{j=1}^n\bigg[\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}-\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j}\bigg]\\
\end{aligned}
$$

と、

$$
\begin{aligned}
{}-\frac{\partial H}{\partial Q_i}
&=\sum_{j=1}^n\bigg[-\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\frac{\partial H}{\partial q_j}-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}\frac{\partial H}{\partial p_j}\bigg]\\
\end{aligned}
$$

とを比較して、

$$
\frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i},\ \ \ \ \frac{\partial P_i}{\partial p_j}=\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}
$$

これらが成り立つことが、ハミルトニアンの形が変らない正準変換の条件となる。



* 正準変換の具体例 [#ia5d3381]

** 恒等変換 [#g1b0fcf0]

$$Q_i=q_i,\ \ P_i=p_i$$

実は思ったほど自明ではない。

$$W=\sum_{i=1}^nP_iq_i$$ 

と書いて $W_2$ の変換を使うと、

$$
p_i=\frac{\partial W}{\partial q_i}=P_i
$$

$$
Q_i=\frac{\partial W}{\partial P_i}=q_i
$$

として恒等変換が得られる。

** 座標変換 [#h15a8f37]

$Q_i$ が $p_j$ に依存しない、通常の位置座標の変換を考える。

$$
Q_i=f_i(q_1,q_2,\dots,q_n)
$$

恒等変換を参考にすると、これに対応するのは、

$$W=\sum_{i=1}^nP_if_i(q_1,q_2,\dots,q_n)$$ 

と置いて $W_2$ の変換を使えばよく、

$$
p_i=\frac{\partial W}{\partial q_i}=\sum_{j=1}^nP_j\frac{\partial }{\partial q_i}f_j(q_1,q_2,\dots,q_n)
$$

$$
Q_i=\frac{\partial W}{\partial P_i}=f_i(q_1,q_2,\dots,q_n)
$$

第２式は思った通りだ。第１式を使って $p_i$ から $P_j$ を求めるには $A_{ij}=\partial f_j/\partial q_i$ なる行列の逆行列を求めて掛ければいいことになる。

** 座標と運動量の入れ替え [#z9b7fc49]

$$W=\sum_{i=1}^nQ_iq_i$$ 

と書いて $W_1$ の変換を使うと、

$$
p_i=\frac{\partial W}{\partial q_i}=Q_i
$$

$$
P_i=-\frac{\partial W}{\partial Q_i}=-q_i
$$

すなわち、$Q_i=p_i,\ \ P_i=-q_i$ として座標と運動量とを入れ替えることができる。

ラグランジュ力学はこのような変換に対して共変ではなかったが、ハミルトン力学はこのように座標と運動量が入り交じるような変換に対しても共変になっている。

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* 質問・コメント [#ia85aec8]

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