量子力学/汎関数微分 のバックアップ(No.1)

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量子力学Ⅰ

関数の関数=汎関数

$F$ に関数 $\phi$ を与えると何らかの数値 $F[\phi]$ が得られる、とすれば、そのような $F$ は汎関数と呼ばれる。関数の関数だから汎関数。

例えばこんなの。

$$ F[\phi]=\int f\big(\phi(x)\big)\ dx $$

$f(y)$ は始めから決まった関数だとすれば、「関数 $\phi$ を定めると $F[\phi]$ の値が定まる」という感覚を理解できるだろうか。

もっと簡単な例として、

$$ F[\phi]=\phi(0) $$

なんてすれば、これも立派な汎関数だ。$\phi(x)$ を決めてやれば $F[\phi]$ の値がちゃんと決まる。$\phi(x)$ の定義を変えると $F[\phi]$ の値も変わる(ことがある)。

汎関数微分

関数 $\phi$ を

$$ \phi(x)\to\phi(x)+\delta\phi(x) $$

のように少し変化させたときに、汎関数 $F[\phi]$ の値が

$$ F[\phi]\to F[\phi]+\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$

のように変化した、と書けるときの、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi} $$

のことで、これ自体が $x$ の関数となる。

$$ \phi(x)\to\phi(x)+\delta\phi(x) $$

のときに

$$ F[\phi]\to F[\phi]+\delta F[\delta \phi] $$

と書くとして、

$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$

と書いてもいい。

どうして積分が必要なのか?

どうして

$$ \delta F[\delta \phi]=\frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi $$

ではなく、

$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$

のように積分が必要なのか?

これは、$n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ の

$$ x_i\to x_i+\delta x_i $$

に対する変化が、

$$ f\to f+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i $$

であったことと対応している。$F[\phi]$ では $\sum$ の代りに $\int$ が現れたわけだ。

言ってしまえば、汎関数 $F[\phi]$ は無限個の変数 $\phi(x)$ に依存する超多変数関数なのである。

$F[\phi]$ は $\phi(0)$ にも $\phi(0.1)$ にも $\phi(0.11)$ にも依存している(可能性がある)。というか、定義域に含まれるすべての $x$ に対する $\phi(x)$ に依存している(可能性がある)のだから、それぞれに対する変化量である $(\delta F/\delta\phi)\delta\phi(x)$ をすべて足したものが $\delta F[\delta\phi]$ になる。$x$ が連続なので「すべて足したもの」を計算するのに $\sum$ ではなくて $\int $ が必要になるわけだ。

汎関数微分の例

例1

$$ F[\phi]=\int f\big(x,\phi(x)\big)\ dx $$

のときは単純に、

$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\partial f}{\partial \phi} \delta\phi(x)\ dx $$

であるから、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi} $$

となる。これは一般に $x$ の関数である。

めでたしめでたし?

例2

$$ \phi'=\frac{d\phi}{dx} $$

などと書くことにして、

$$ F[\phi]=\int f(\phi(x),\phi'(x))\ dx $$

のとき、

$$ \delta F[\delta\phi]=\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi'\Big] dx $$

部分積分すると、

$$ \delta F[\delta\phi]=\Big[\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi\Big]+\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)'\Big]\delta \phi\ dx $$

積分区間の端で $\frac{\partial f}{\partial \phi'}=0$ または $\delta \phi=0$ となる場合には1項目は消えて、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)' $$

と書ける。微分をちゃんと書いておくと、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial f}{\partial (d\phi/dx)}\Big) $$

である。この形はラグランジアン密度を考える際などに頻出する。

参考

ー [EMANの物理学・解析力学・汎関数微分](http://eman-physics.net/analytic/functional.html)

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