エーレンフェストの定理/メモ のバックアップ(No.1)

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 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\frac{1}{i\hbar}\iiint \psi^*\Big[x\hat H-\hat Hx\Big]\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint \psi^*\Big[x\Big(\frac{1}{2m}\hat p^2+\cancel{V}\Big)

  • \Big(\frac{1}{2m}\hat p^2+\cancel{V}\Big)x\Big]\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\frac{1}{2m}\psi^*\Big(x\hat p^2-\hat p^2x\Big)\psi\,d\bm r );

ここで、交換関係 x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar および、 x\hat p_y-\hat p_yx=x\hat p_z-\hat p_zx=0 を用いると、

 &math( \hat p_x^2x&=\hat p_x(x\hat p_x-i\hbar)\\ &=\hat p_xx\hat p_x-i\hbar\hat p_x\\ &=(x\hat p_x-i\hbar)\hat p_x-i\hbar\hat p_x\\ &=x\hat p_x^2-2i\hbar\hat p_x );

より、

 &math(x\hat p^2-\hat p^2x&=x(\hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2)-(\hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2)x\\ &=2i\hbar\hat p_x);

であるから、

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\frac{1}{\cancel{i\hbar}}\iiint\frac{1}{\cancel 2m}\psi^*\Big(\cancel 2\cancel{i\hbar}\hat p\Big)\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{m}\iiint\psi^*\hat p\psi\,d\bm r\\ &=\frac{\left\langle p\right\rangle}{m} );

を得る。一方、運動量の時間変化は、

 &math( \frac{d}{dt}\langle p_x\rangle &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\psi^*\left[\hat p_x\left(\frac{1}{2m}\hat p^2+V\right)

  • \left(\frac{1}{2m}\hat p^2+V\right)\hat p_x\right]\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\psi^*\Big(\frac{1}{2m}(\hat p_x\hat p^2-\hat p^2\hat p_x)+(\hat p_xV-V\hat p_x)\Big)\psi\,d\bm r );

ここで、 \hat p_x \hat p^2 は交換するから、 \hat p_x\hat p^2-\hat p^2\hat p_x=0 。一方、

 &math( \hat p_xV\psi&=\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(V\psi)\\ &=\frac{\hbar}{i}\frac{\PD V}{\PD x}\psi+V\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD V}{\PD x}+V\hat p_x\Big)\psi\\ );

より、

 &math( \frac{d}{dt}\langle p_x\rangle &=\frac{1}{i\cancel\hbar}\iiint\psi^*\Big(\frac{\cancel\hbar}{i}\frac{\PD V}{\PD x}\Big)\psi\,d\bm r\\ &=-\left\langle\frac{\PD V}{\PD x}\right\rangle );

となる。


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