エーレンフェストの定理 のバックアップ(No.1)

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量子力学I/波動関数の解釈?

エーレンフェストの定理

初期状態において電子の存在確率があまり広がっておらず、 その広がりに対してポテンシャル V(\bm r,t) の変化が十分に緩やかであれば、 電子の運動は古典論から予想されるものと等しくなるはずである。 このことを確かめてみよう。

まず、電子の位置座標の時間変化を求める。

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\frac{d}{dt}\iiint \psi^*x\psi\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^* x\frac{\PD\psi}{\PD t}+\frac{\PD\psi^*}{\PD t}x\psi\,d\bm r\\ );

シュレーディンガー方程式により \PD/\PD t を書き直して、

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\iiint \psi^*x\frac{1}{i\hbar}\Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\Big)\,d\bm r\\ &+\iiint \frac{1}{-i\hbar}\Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*+V\psi^*\Big)x\psi\,d\bm r\\ );

V を含む項は互いに打ち消し合って、

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\frac{i\hbar}{2m}\iiint \psi^*x(\nabla^2\psi)-(\nabla^2\psi^*)x\psi\,d\bm r\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\iiint \psi^*[x(\nabla^2\psi)-\nabla^2(x\psi)]\,d\bm r\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\iiint \psi^*\left(-2\frac{\PD}{\PD x}\right)\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{m}\langle p_x\rangle );

を得る。2つ目の等号は運動量演算子がエルミートであることを用いた。3つ目の等号は、

 &math( \nabla^2(x\psi) &=\left(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}\right)(x\psi)\\ &=\frac{\PD\psi}{\PD x}+\frac{\PD\psi}{\PD x}+x\frac{\PD^2\psi}{\PD x^2}+x\frac{\PD^2\psi}{\PD y^2}+x\frac{\PD^2\psi}{\PD z^2}\\ &=\left(2\frac{\PD}{\PD x}+x\nabla^2\right)\psi );

を用いた。一方、運動量の時間変化は、

 &math( \frac{d}{dt}\langle p_x\rangle &=\frac{d}{dt}\iiint\psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi\,d\bm r\\ &=\frac{\hbar}{i}\iiint\psi^*\frac{\PD}{\PD x}\frac{\PD}{\PD t}\psi+\left(\frac{\PD}{\PD t}\psi^*\right)\frac{\PD}{\PD x}\psi\,d\bm r\\ &=\frac{\hbar}{i}\iiint\psi^*\frac{\PD}{\PD x}\frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\right)\,d\bm r

  1. \frac{\hbar}{i}\iiint\frac{1}{-i\hbar}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*+V\psi^*\right)\frac{\PD}{\PD x}\psi\,d\bm r\\ );

ここで、

 &math( \iiint\psi^*\frac{\PD}{\PD x}\nabla^2\psi\,d\bm r &=\iiint\psi^*\nabla^2\frac{\PD\psi}{\PD x}\,d\bm r\\ &=-\iiint\bm\nabla\psi^*\cdot\bm\nabla\frac{\PD\psi}{\PD x}\,d\bm r

  1. \underbrace{\int_S\left(\psi^*\bm\nabla\frac{\PD\psi}{\PD x}\right)\cdot\bm n\,dS}_{=0}\\ &=\iiint(\nabla^2\psi^*)\frac{\PD\psi}{\PD x}\,d\bm r
  • \underbrace{\int_S\left(\bm\nabla\psi^*\cdot\frac{\PD\psi}{\PD x}\right)\cdot\bm n\,dS}_{=0}\\ &=\iiint(\nabla^2\psi^*)\frac{\PD\psi}{\PD x}\,d\bm r );

より \nabla^2 を含む項は打ち消し合って、

 &math( \frac{d}{dt}\langle p_x\rangle &=-\iiint\psi^*\left(\frac{\PD}{\PD x}(V\psi)-V\frac{\PD}{\PD x}\psi\right)\,d\bm r\\ &=-\iiint\psi^*\frac{\PD V}{\PD x}\psi\,d\bm r\\ &=-\left\langle\frac{\PD V}{\PD x}\right\rangle );

となり、 \bm r,\bm p の期待値が古典論の運動方程式

  \frac{d\bm r}{dt}=\frac{\bm p}{m}

  \frac{d\bm p}{dt}=-\bm\nabla V

を満たすことが示された。

巨視的極限に於いてシュレーディンガー方程式が古典論の運動方程式を与えるという この定理をエーレンフェストの定理と呼ぶ。


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