エーレンフェストの定理 のバックアップ(No.3)

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量子力学Ⅰ/波動関数の解釈

エーレンフェストの定理

初期状態において電子の存在確率があまり広がっておらず、 その広がりに対してポテンシャル V(\bm r,t) の変化が十分に緩やかであれば、 電子の運動は古典論から予想されるものと等しくなるはずである。 このことを確かめてみよう。

まず、電子の位置座標*1求めているのは期待値の変化であるが、ここでは電子はあまり広がっていないと考えているため、期待値はそのまま電子の位置と見なせる。の時間変化を求める*2 x,t は独立なパラメータであるため、 \frac{\PD x}{\PD t}=0 である。

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\frac{d}{dt}\iiint \psi^*x\psi\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^* x\frac{\PD\psi}{\PD t}+\frac{\PD\psi^*}{\PD t}x\psi\,d\bm r );

シュレーディンガー方程式により

  \frac{\PD\psi}{\PD t}=\frac{1}{i\hbar}\hat H\psi

および、この複素共役により

  \frac{\PD\psi^*}{\PD t}=\frac{1}{-i\hbar}\hat H\psi^*

であるから*3 \hat H^*=\hat H である

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\iiint \psi^*x\frac{1}{i\hbar}\Big(\frac{1}{2m}\hat p^2\psi+\cancel{V\psi}\Big)\,d\bm r

  1. \iiint \frac{1}{-i\hbar}\Big(\frac{1}{2m}\hat p^2\psi^*+\cancel{V\psi^*}\Big)x\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\frac{1}{2m}\Big(\psi^*x\hat p^2\psi-(\hat p^2\psi^*)x\psi\Big)\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\frac{1}{2m}\Big(\psi^*x\hat p^2\psi-\psi^*\hat p^2(x\psi)\Big)\,d\bm r \hspace{1cm}\because\,\hat{\bm p}\,はエルミート\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\frac{1}{2m}\psi^*\Big(x\hat p^2-\hat p^2x\Big)\psi\,d\bm r );

ここで、交換関係 x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar および、 x\hat p_y-\hat p_yx=x\hat p_z-\hat p_zx=0 を用いると、

 &math( \hat p_x^2x&=\hat p_x(x\hat p_x-i\hbar)\\ &=\hat p_xx\hat p_x-i\hbar\hat p_x\\ &=(x\hat p_x-i\hbar)\hat p_x-i\hbar\hat p_x\\ &=x\hat p_x^2-2i\hbar\hat p_x );

より、

 &math(x\hat p^2-\hat p^2x&=x(\hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2)-(\hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2)x\\ &=i\hbar\hat p_x);

であるから、

 &math( \frac{d}{dt}\langle x\rangle &=\frac{1}{\cancel{i\hbar}}\iiint\frac{1}{\cancel 2m}\psi^*\Big(\cancel 2\cancel{i\hbar}\hat p\Big)\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{m}\iiint\psi^*\hat p\psi\,d\bm r\\ &=\frac{\left\langle p\right\rangle}{m} );

を得る。一方、運動量の時間変化は、

 &math( \frac{d}{dt}\langle p_x\rangle &=\frac{d}{dt}\iiint\psi^*\hat p_x\psi\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^*\hat p_x\frac{\PD}{\PD t}\psi+\left(\frac{\PD}{\PD t}\psi^*\right)\hat p_x\psi\,d\bm r\\ &=\iiint\psi^*\hat p_x\frac{1}{i\hbar}\left(\frac{1}{2m}\hat p^2\psi+V\psi\right)\,d\bm r

  1. \iiint\frac{1}{-i\hbar}\left(-\frac{1}{2m}\hat p^2\psi^*+V\psi^*\right)\hat p_x\psi\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\Big(\frac{1}{2m}\psi^*\hat p_x\hat p^2\psi+\psi^*\hat p_xV\psi
  • \frac{1}{2m}(\hat p^2\psi^*)\hat p_x\psi-\psi^*V\hat p_x\psi\Big)\,d\bm r\\ &=\frac{1}{i\hbar}\iiint\psi^*\Big(\frac{1}{2m}(\hat p_x\hat p^2-\hat p^2\hat p_x)+(\hat p_xV-V\hat p_x)\Big)\psi\,d\bm r \hspace{1cm}\because\,\hat{\bm p},V\,はエルミート );

ここで、 \hat p_x \hat p^2 は交換するから、 \hat p_x\hat p^2-\hat p^2\hat p_x=0 。一方、

 &math( \hat p_xV\psi&=\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(V\psi)\\ &=\frac{\hbar}{i}\frac{\PD V}{\PD x}\psi+V\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD V}{\PD x}+V\hat p_x\Big)\psi\\ );

より、

 &math( \frac{d}{dt}\langle p_x\rangle &=\frac{1}{i\cancel\hbar}\iiint\psi^*\Big(\frac{\cancel\hbar}{i}\frac{\PD V}{\PD x}\Big)\psi\,d\bm r\\ &=-\left\langle\frac{\PD V}{\PD x}\right\rangle );

となり、 \bm r,\bm p の期待値が古典論の運動方程式

  \frac{d\bm r}{dt}=\frac{\bm p}{m}

  \frac{d\bm p}{dt}=-\bm\nabla V

を満たすことが示された。

巨視的極限に於いてシュレーディンガー方程式が古典論の運動方程式を与えるという この定理をエーレンフェストの定理と呼ぶ。


*1 求めているのは期待値の変化であるが、ここでは電子はあまり広がっていないと考えているため、期待値はそのまま電子の位置と見なせる。
*2 x,t は独立なパラメータであるため、 \frac{\PD x}{\PD t}=0 である。
*3 \hat H^*=\hat H である

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