三次元空間での散乱現象/メモ のバックアップの現在との差分(No.5)

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* 確率密度の保存 [#m224c56a]

計算途中で検算もまだです。

&math(
S_{r}
&=\mathrm{Re}\left[\varphi^*(r,\theta,\phi)\frac{\hbar}{im}\frac{\PD}{\PD r}\varphi(r,\theta,\phi)\right]\\
&=\mathrm{Re}\left[\frac{\hbar}{im}
\left\{e^{-ik_0r\cos\theta}+\frac{e^{-ik_0r}}{r}f^*(\theta,\phi)\right\}
\left\{ik_0\cos\theta e^{ik_0r\cos\theta}
+\left(-\frac{1}{r^2}+\frac{ik_0}{r}\right)e^{ik_0r}f(\theta,\phi)\right\}
\right]\\
&=\frac{\hbar}{m}\mathrm{Re}\left[k_0\cos\theta+\frac{k_0}{r^2}|f(\theta,\phi)|^2
+\frac{k_0\cos\theta}{r}e^{-ik_0r(1-\cos\theta)}f^*(\theta,\phi)
+\left(-\frac{1}{ir^2}+\frac{k_0}{r}\right)e^{ik_0r(1-\cos\theta)}f(\theta,\phi)
\right]\\
&=\frac{\hbar}{m}\left\{k_0\cos\theta+\frac{k_0}{r^2}|f(\theta,\phi)|^2
+\left(\frac{k_0(1+\cos\theta)}{r}\mathrm{Re}Z-\frac{1}{r^2}\mathrm{Im}Z\right)\right\}
);

ただし、&math(Z=e^{ik_0r(1-\cos\theta)}f(\theta,\phi));

* ラザフォード散乱 [#l9f6a2e8]

 LANG:mathematica
 PolarPlot[
   1/(1 + {0.5, 1, 2, 4}^2 Sin[t/2]^2) // Evaluate, {t, 0, 2 Pi}, 
   PlotLegends -> {"A=0.5", "A=1", "A=2", "A=4"}
 ]
 
 PolarPlot[
   1/(1 + {0.25, 1, 4, 16} Sin[t/2]^2)^2 // Evaluate, {t, 0, 2 Pi}, 
   PlotLegends -> {"A=0.5", "A=1", "A=2", "A=4"}
 ]

* ラザフォード散乱の古典論 [#z46c90a5]

原点からのクーロン斥力を受けつつ運動する粒子の軌跡を求める。

ポテンシャルを &math(\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0 r}); とし、
入射粒子の初速を &math(x); 軸正方向に &math(v_0);、
遠方における入射粒子の &math(y); 座標、すなわち入射パラメータを &math(b); とする。

運動は &math(x-y); 面内に限られ、この面内に &math(\phi); を取れば、

動径方向の運動にはポテンシャルと遠心力が現れ、

&math(
m\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0 r^2}+\underbrace{mr\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2}_{遠心力}
);

&math(\phi); 方向の運動は中心力による角運動量保存則を示し、

&math(
2mr\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+mr^2\frac{d^2\phi}{dt^2}=
\frac{d}{dt}\Big(\underbrace{mr^2\frac{d\phi}{dt}}_{角運動量} \Big)=
0
);

この、一定値となるべき角運動量は遠方において &math(\bm r_0=(-x_0,b,0),\bm v_0=(v_0,0,0)); 
ただし、&math(x_0\gg 1); から容易に求められ、

&math(mr^2\frac{d\phi}{dt}=(m\bm r_0\times\bm v_0)_z=-mbv_0);

すなわち、

&math(\frac{d\phi}{dt}=-\frac{bv_0}{r^2});

これを動径方向の運動方程式に代入すれば、

&math(
\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0 r^2m}+\frac{b^2v_0^2}{r^3}
);

&math(r(t)=1/u(\phi(t))); のように &math(u(\phi)); を導入すると、

&math(\frac{d}{dt}=\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}=-\frac{bv_0}{r^2}\frac{d}{d\phi}=-bv_0u^2\frac{d}{d\phi});

を使って、

&math(
\frac{d^2r}{dt^2}=b^2v_0^2u^2\frac{d}{d\phi}\Big(u^2\underbrace{\frac{d}{d\phi}\frac{1}{u}}_{-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}}\Big)
=-b^2v_0^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}
);

したがって、

&math(
b^2v_0^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0m}u^2+b^2v_0^2u^3
);

&math(
\frac{d^2u}{d\phi^2}=-\left(\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0mb^2v_0^2}+u\right)
);

この方程式は、

&math(
\frac{1}{r}=A\cos(\phi+\delta)-\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0mb^2v_0^2}
);

と置けば満たされる。各辺を &math(t); で微分すれば、

&math(
\underbrace{\frac{1}{r^2}}_{-\frac{1}{bv_0}\frac{d\phi}{dt}}\frac{dr}{dt}=A\sin(\phi+\delta)\frac{d\phi}{dt}
);

より、

&math(
\frac{dr}{dt}=-Abv_0\sin(\phi+\delta)
);

が得られる。

入射時、&math(\phi=\pi); において &math(r=\infty,\frac{dr}{dt}=v_0); より、

&math(0=A\underbrace{\cos(\pi+\delta)}_{-\cos\delta}-\underbrace{\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0mb^2v_0^2}}_{b_0/b^2});

&math(v_0=-Abv_0\underbrace{\sin(\pi+\delta)}_{-\sin\delta});

ここから、

&math(\tan\delta=\frac{b}{b_0});

&math(
A=\sqrt{A^2(\sin^2\delta+\cos^2\delta)}
&=\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{b_0^2}{b^4}}\\
&=\frac{1}{b}\sqrt{1+\frac{b_0^2}{b^2}}
);

を得る。

&math(b>0); においては、&math(\phi); は &math(\pi); から始まって、
散乱体に近づくに従って徐々に小さくなり、
&math(t=\infty); における &math(\phi(\infty)); が散乱角に相当する。

粒子の軌跡は散乱体に最も近づく &math(\frac{dr}{dt}\propto -\sin(\phi+\delta)=0); 
となる点 (&math(\phi=\delta); の点) に対して対象になるから、
&math(\phi); は &math(\pi); から &math(\delta); までで最近接点へ到達し、
さらに &math(\pi-\delta); だけ回った &math(\delta-(\pi-\delta)=2\delta-\pi); まで回転する事が分かる。

すなわち、散乱角 &math(\theta=\phi(t=\infty)=2\delta-\pi); であり、

&math(
\tan\frac{\theta+\pi}{2}=\cot\frac{\theta}{2}=\frac{b}{b_0}
);

により &math(b); と &math(\theta); の関係が与えられる。

&math(
\theta=2\,\mathrm{arccot}\,\frac{b}{b_0}
);

| &math(b/b_0);| &math(\theta);||
| &math(0);| &math(\pi);|完全反射|
| &math(1);| &math(\pi/2);|90度曲がる|
| &math(2.41);| &math(45^\circ);  ||
| &math(3.73);| &math(30^\circ);||
| &math(11.43);| &math(10^\circ);||
| &math(114.6);| &math(1^\circ);||
| &math(1146); | &math(0.1^\circ);||

&math(b_0); は &math(\theta=\pi/2); となる入射パラメータに相当する。

&math(b); の大きいところ、すなわち &math(\theta); の小さいところで &math(\theta); は &math(b); に反比例する。

&math(
\frac{b}{b_0}=\cot\frac{\theta}{2}\sim\frac{\cos\theta/2}{\sin\theta/2}=\frac{2}{\theta}
);

&math(\theta\sim\frac{2b_0}{b});  &math((b\gg b_0));

元の式の両辺を &math(\theta); で微分した

&math(
\frac{d}{d\theta}\left(\cot\frac{\theta}{2}\right)=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{b_0}\frac{db}{d\theta}
);

を用いて、&math(\theta); 付近の &math(d\theta); の範囲にある立体角
&math(2\pi\sin\theta\,d\theta); へ散乱する断面積が &math(2\pi b\,db); であることから、微分散乱断面積を求めれば、

&math(
2\pi b\,db&=\left|-2\pi b\frac{1}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}b_0\right|d\theta\\
&=\underbrace{\left|-\frac{1}{2\sin\theta}\frac{b_0}{\sin^2\frac{\theta}{2}}b\right|}_{\sigma(\theta,\phi)}2\pi\sin\theta\,d\theta\\
);

&math(
\sigma(\theta,\phi)&=\frac{1}{4\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\frac{b_0}{\sin^2\frac{\theta}{2}}b_0\cot\frac{\theta}{2}\\
&=\frac{b_0^2}{4\sin^2\frac{\theta}{2}}\\
);

散乱ポテンシャルが無限遠までゼロにならない散乱では___すべてが散乱波であり、透過波は存在しない___。

したがって、微分散乱断面積を全立体角に対して積分すれば無限大に発散する。

** 古典論の解をプロット [#a6c8def8]

 LANG:mathematica
 Module[{\[Delta], A, b0, r, points},
  points = Table[
    b0 = 1;
    \[Delta] = ArcTan[b/b0];
    A = -Sqrt[1 + b0^2/b^2]/b;
    r[\[Phi]_] := 1/(A Cos[\[Phi] + \[Delta]] - b0/b^2);
    {
     Table[{r[\[Phi]] Cos[\[Phi]], r[\[Phi]] Sin[\[Phi]]}, {\[Phi], 
       Pi - 2 \[Delta] + \[Delta]/400, 
       Pi - \[Delta]/400, \[Delta]/800}],
     Table[{r[\[Phi]] Cos[\[Phi]], -r[\[Phi]] Sin[\[Phi]]}, {\[Phi], 
       Pi - 2 \[Delta] + \[Delta]/400, Pi - \[Delta]/400, \[Delta]/800}]
     },
    {b, Table[n^3/40, {n, 2, 15}]}];
  ListLinePlot[Flatten[points, 1], PlotRange -> {{-30, 70}, {-50, 50}},
    PlotStyle -> {{Thickness[0.001], Blue}}]
  ]

** 量子論の解をプロット [#a05b15f9]

 LANG:mathematica
 With[{a = 10}, 
  Show[DensityPlot[
    With[{r = Sqrt[x^2 + y^2]}, 
     Abs[Exp[I x] - (Exp[I r]/r)/(1/a^2 + Sin[ArcTan[x, y]/2]^2)/
         a^2]^2], {x, -50, 450}, {y, -100, 100}, PlotPoints -> 500, 
    PlotRange -> {Full, Full, {1 - 0.02, 1 + 0.02}}, 
    AspectRatio -> 2/5, ImageSize -> Large],
   ContourPlot[
    With[{r = 
       Sqrt[x^2 + y^2]}, ((1/r)/(1/a^2 + Sin[ArcTan[x, y]/2]^2))/
      a], {x, -50, 450}, {y, -100, 100}, PlotPoints -> 200, 
    PlotRange -> {Full, Full, {0, a/10}}, AspectRatio -> 2/5, 
    ImageSize -> Large, ContourShading -> None, ContourStyle -> {Gray},
     ContourLabels -> False, 
    Contours -> {0.0001, 0.0003, 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3}],
   PlotLabel -> 
   "2\!\(\*SubscriptBox[\(k\), \(0\)]\)\!\(\*SubscriptBox[\(r\), \(0\)]\) = " <> ToString[a]]
 ]


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