量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ(No.2)

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量子力学I/波動関数の解釈?

不確定性原理

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。

不確定性原理は例えば、「 x p_x が同時に正確に定まるような状態は存在しない」という形で言い表せる。

以下、この項では p_x=p と書き、一次元で考える。

得られる結果は次のようになる。

  \sigma_x\cdot\sigma_p \ge \frac{\hbar}{2}

不確定性原理の導出

定義より、

  \sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle}

  \sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle}

であるから、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle );

演算子 \alpha=x-\langle x\rangle \beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle を導入すると、 どちらもエルミートである。

これは、

  \int \psi^*(x\psi)\,d\bm r=\int (x\psi)^*\psi\,d\bm r

 &math( \int \psi^*\hat p\psi)\,d\bm r &=\int \psi^*(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi)\,d\bm r\\ &=-\int \frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi^*\psi\,d\bm r

  1. \underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\\ &=\int \hat p^*\psi^*\psi\,d\bm r\\ &=\int (\hat p\psi)^*\psi\,d\bm r\\ );

より、 x,\hat p がどちらもエルミートであることと、 定数もエルミートであること、エルミート同士の和がエルミートになること、から導かれる。

\alpha,\beta のエルミート性を用いることで、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx\\ &=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx\\ &=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx\\ );

を得る。最後の積分を関数の内積として考えれば、それぞれ関数 \alpha\psi \beta\psi のノルムの2乗を表わしている。 2つのベクトル \bm x,\bm y に対して一般に、

  |\bm x|^2|\bm y|^2\ge|(\bm x,\bm y)|^2

が成り立つから(シュバルツの不等式)、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\left(\frac{\alpha\beta-\beta\alpha}{2}+\frac{\alpha\beta+\beta\alpha}{2}\right)\psi\,dx\right|^2\\ &=\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2

+\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\

);

と変形できる。最後の等式で落とした項は、

 &math( &\phantom{+}

 \frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*
           \left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\

&+\frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*

           \left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\

&=\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*-\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx

           \int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\\

&+\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*+\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx

           \int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\\

&=\frac{1}{2}\int \psi(\alpha^*\beta^*\psi^*)\,dx

           \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
-\frac{1}{2}\int \psi(\beta^*\alpha^*\psi^*)\,dx
           \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\

&=\frac{1}{2}\int (\alpha\beta\psi)^*\psi\,dx

           \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
-\frac{1}{2}\int (\beta\alpha\psi)^*\psi\,dx
           \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\

&=\frac{1}{2}\int (\beta\psi)^*(\alpha\psi)\,dx

           \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
-\frac{1}{2}\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx
           \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\

&=\frac{1}{2}\int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx

           \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
-\frac{1}{2}\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
           \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\

&=0 );

となって消える。

&math( (\alpha\beta-\beta\alpha)\psi &= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)\\ &= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)-\frac{\hbar}{i}\psi\\ &= -\frac{\hbar}{i}\psi\\ );

より、

 &math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(i\hbar)\psi\,dx\right|^2

+\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\

&\ge\frac{\hbar^2}{4}

+\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\

&\ge\frac{\hbar^2}{4} );

すなわち、

  \sigma_x\cdot\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}

を得る。

最小波束

2つの不等号で等号が成り立つ条件は、

  1. シュバルツの不等式で2つのベクトルが平行であること
    すなわち \gamma を定数として \alpha\psi=\gamma\beta\psi
  2. \int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx=0

1. より、

 &math( (x-<x>)\psi=\gamma(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}-<p>)\psi );

 &math( \frac{\PD\psi}{\PD x}=\frac{i}{\hbar}\left(\frac{x-<x>}{\gamma}+<p>\right)\psi );

 &math( \psi(x,t)=\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{(x-<x>)^2}{2\gamma}+<p>x\right]} );

また、1. の式を 2. に代入すれば、

&math( 0&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\beta\psi)^*\alpha\psi\,dx\\ &=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\frac{\alpha}{\gamma}\psi)^*\alpha\psi\,dx\\ &=\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\gamma^*}\right)\int \alpha^2|\psi|^2\,dx\\ );

\int \alpha^2|\psi|^2\,dx>0 より、 1/\gamma+1/\gamma^*=0 すなわち \gamma+\gamma^*=0 となり、 \gamma は純虚数でなければならない。

x の絶対値が大きいところで \psi が有限となるためには \gamma は負の虚数でなければならない。 実際、 \gamma=-2i\sigma_x^2/\hbar \psi_0=1/\sqrt{2\pi\sigma_x^2} とすることにより

 &math( \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left[\frac{(x-\langle x\rangle)^2}{4\sigma_x^2}+\frac{i\langle p\rangle}{\hbar}x\right] );

が得られ、この式は \sigma_x^2 = \langle \alpha^2\rangle を満足する、 規格化された波動関数を与える。


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