多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオン のバックアップの現在との差分(No.7)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 1粒子系の量子力学の復習 [#vcf8a3db]
&katex();

量子力学において1粒子の運動は、
粒子の位置を変数とする複素関数(波動関数)が満たす
シュレーディンガー方程式により記述された。
* 概要 [#q7edd673]

粒子の位置:&math(\bm r);~
波動関数:&math(\psi(\bm r,t));~
方程式:&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\psi(\bm r,t)=\hat H\psi(\bm r,t));
これまで、1粒子のシュレーディンガー方程式の解法を細かく見てきたが、
以下では多粒子系の問題について考える。(教科書では「量子力学II」に収録されている9章の内容となる)

シュレーディンガー方程式は両辺に共通な &math(\psi(\bm r,t)); を除いて考えると
** 目次 [#g08172c8]
#contents

 &math(\frac{\hbar}{-i}\frac{\PD}{\PD t}(\dots)=\hat H(\dots));
* 2粒子系の量子力学 [#w3265732]

の形をしている。これは前期量子論における
古典的なハミルトニアンは系のエネルギーを位置と運動量で表したものであった。

 &math(\hbar\omega=\varepsilon);
したがって2粒子系であれば、2つの粒子の位置座標 $\bm r_1,\bm r_2$ 
および、運動量 $\bm p_1,\bm p_2$ を使って、

という関係に対応しているのであった。
$$
H(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)=\underbrace{\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}\rule[-14pt]{0pt}{10pt}}_{\text{運動エネルギー}}+\underbrace{\mathop{V(\bm r_1,\bm r_2,t)}_{\ }\rule[-14pt]{0pt}{10pt} }_{\text{ポテンシャル}}
$$

ただし、&math(\hat H); は古典力学におけるシュレーディンガー方程式に現れる
粒子の運動量 &math(\bm p); を &math(\hbar\bm \nabla/i); で置き換えたものである。
などとなる。

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が
時刻 &math(t); に粒子を位置 &math(\bm r); を見いだす確率となる。
量子力学ではハミルトニアンに $\bm p\to\frac{\hbar}{i}\bm \nabla$
の置き換えをして、演算子

その他の物理量 &math(O); の期待値 &math(\langle O\rangle); は、
物理量に対応する演算子を &math(\hat O); として次のように与えられる。
$$
\hat H\big(\bm r_1,\bm r_2,\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_{r_1},\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_{r_2}\big)=
{}-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_{r_1}^2
{}-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_{r_2}^2
{}+V(\bm r_1,\bm r_2,t)
$$

 &math(\big\langle O(t)\big\rangle=\int \hat O \psi(\bm r,t)\hat O^\dagger d\bm r);
を得る。ただし、$\nabla_{r_1}^2=\frac{\partial^2}{\partial \bm r_1^2}$ は $\bm r_1$ に対するラプラシアン、$\nabla_{r_2}^2=\frac{\partial^2}{\partial \bm r_2^2}$ は $\bm r_2$ に対するラプラシアン、

* 2粒子系の量子力学 [#w3265732]
これが波動関数に作用する演算子となるのであるから、
2粒子系の波動関数は $\bm r_1,\bm r_2$ の関数であるはずだ。

2つの電子の位置座表をそれぞれ &math(\bm r_1,\bm r_2); とする。
 2粒子系の波動関数: $\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)$ 

2粒子系の波動関数を &math(\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)); として、
すると、シュレーディンガー方程式は

シュレーディンガー方程式を
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)$$

 &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t));
と書ける。

としたならば、これは1粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっており、
事実これが正しい2粒子系のシュレーディンガー方程式である。
波動関数を大文字にしたのは教科書に合わせるためで表記上の問題しかない。
教科書では1粒子波動関数を小文字 &math(\psi,\varphi); で、多粒子波動関数を大文字 &math(\Psi,\Phi); 
で表すことにしている。
波動関数を大文字にしたのは教科書に合わせるためで、表記上の問題しかない。
教科書では、1粒子波動関数を小文字 $\psi,\varphi$ で、多粒子波動関数を大文字 
$\Psi,\Phi$ で表すことになっている。

&math(\hat H); は古典力学における2粒子系のハミルトニアンに現れる
2つの粒子の運動量 &math(\bm p_1,\bm p_2); を
&math(\bm\nabla_{\bm r_1}, \bm\nabla_{\bm r_2}); に置き換えたものとなる。
 波動関数の絶対値の二乗:$\big|\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\big|^2d\bm r_1d\bm r_2$

>例:~
2粒子がクーロン相互作用しているなら、&math(V(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|}); となるから、~
  &math(
\hat H(\bm r_1,\bm r_2,t)=
-\frac{\hbar^2}{2m_1}\bm\nabla_{r_1}^2-\frac{\hbar^2}{2m_2}\bm\nabla_{r_2}^2
+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e_1e_2}{|\bm r_1-\bm r_2|});~
である。~
は時刻 $t$ において、
-粒子1を位置 $\bm r_1$ の近傍の $d\bm r_1$ に、
-粒子2を位置 $\bm r_2$ の近傍の $d\bm r_2$ に、

シュレーディンガー方程式を解いて得られた波動関数の絶対値の二乗が
時刻 &math(t); に2つの粒子をそれぞれ位置 &math(\bm r_1); および &math(\bm r_2); に見いだす確率となる。
見出す確率となる。

その他の物理量 &math(O); の期待値 &math(\langle O\rangle); は、
物理量に対応する演算子を &math(\hat O); として次のように与えられる。
物理量 $O(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)$ の期待値 $\overline O$ は、
対応する演算子 $\hat O(\bm r_1,\bm r_2,\hbar\bm \nabla_{r_1}/i,\hbar\bm \nabla_{r_2}/i)$ 
を用いて次のように与えられる。

 &math(\langle O(t)\rangle=\iint \Psi^*(\bm r_1,\bm r_2,t)\hat O \Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)d\bm r_1\bm r_2);
$$
\overline O(t)=\iint \Psi^*(\bm r_1,\bm r_2,t)\,\hat O\,\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\,d\bm r_1\,d\bm r_2
$$

これらが1粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっていることを確認せよ。

* 多粒子系の量子力学 [#ne59b5a9]

位置座表をそれぞれ &math(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n); として、~
波動関数を &math(\Psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)); とすれば良い。

一般の $n$ 粒子系では、位置座表をそれぞれ $\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n$ として、
波動関数を $\Psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)$ とすれば良い。
このときハミルトニアンは例えば次のような形に書けるはずで、

&math(
\hat H(\bm r_1,\bm r_2,t)=
\underbrace{\sum_{j=1}^n -\frac{\hbar^2}{2m_j}\bm\nabla_{r_j}^2}_{運動エネルギー}+
\underbrace{V(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)\rule[-16.5pt]{0pt}{10pt}}_{ポテンシャルエネルギー}
);
$$
\hat H=
\underbrace{\sum_{j=1}^n -\frac{\hbar^2}{2m_j}\bm\nabla_{r_j}^2}_{\text{運動エネルギー}}+
\underbrace{V(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)\rule[-14pt]{0pt}{10pt}}_{\text{ポテンシャルエネルギー}}
$$

これを用いてシュレーディンガー方程式はやはり次の形に書ける。

 &math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi=\hat H\Psi);
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat H\Psi$$

波動関数の物理的意味は、時刻 $t$ において、
それぞれの粒子を位置 $\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n$ 
の周囲 $d\bm r_1,d\bm r_2,\dots,d\bm r_n$ 
に見出す確率が $|\Psi|^2d\bm r_1\dots d\bm r_n$ である。

1粒子に対する波動関数は絶対値の二乗を取るだけでそのまま現実の三次元空間中における粒子の存在確率密度を表すことになり、「物質波」と呼ぶにふさわしいものであったが、多粒子系の波動関数は現実の三次元空間ではなく、仮想的な $3n$ 次元空間(粒子数 $n$)における確率密度に対応するものであり、もはや「物質波」と呼べるようなものではなくなっていることにも注目せよ。

これまで学んだとおり、1粒子のシュレーディンガー方程式でも
解析的に閉じた解が得られるのは非常に単純な問題に限られており、
そのような場合であっても解を得るには高度な数学を要する。
そのような例外的な場合に限ってさえ、解を得るには高度な数学を要するのであった。

多体のシュレーディンガー方程式を解析的に解くことはほぼ不可能であるため、
様々な近似を用いて1体の問題に直し、さらに近似を用いて1体の問題を解くことにより、
ようやく実験結果と比較できるような理論的予測を得ることが可能となる。
多体のシュレーディンガー方程式を解析的に閉じた形で解くことはほぼ不可能であるため、
様々な近似を用いて1体の問題に直し、さらに近似を用いて複雑な1体問題を解くことにより、
ようやく実験結果と比較できるような理論的予測が得られる。

もう1つ、多体問題ではシュレーディンガー方程式だけでは波動関数が一意に定まらない。
シュレーディンガー方程式に加えて対称性に関する制約を与えて始めて解が一意に定まることになる。
以下この点について考える。


* 同種粒子の不可弁別性 [#q8a2e6f8]

多粒子系において、粒子 &math(j); と &math(k); とが同種の粒子
(たとえば電子)であるとする。
多粒子系の量子力学では%%%シュレーディンガー方程式に加えて%%%、同種の粒子の間に不可弁別性が成り立つことが求められる。

粒子 &math(j); が &math(\bm r_a); に、~
粒子 &math(k); が &math(\bm r_b); に、それぞれ見いだされる確率と、~
~
粒子 &math(j); が &math(\bm r_b); に、~
粒子 &math(k); が &math(\bm r_a); に、それぞれ見いだされる状態と、~
~
は常に等しい、というのが同種粒子の不可弁別性である。
粒子 $j$ と $k$ とが同種の粒子なら、
- 粒子 $j$ が $\bm r_a$ に、粒子 $k$ が $\bm r_b$ に、存在する状態と
- 粒子 $j$ が $\bm r_b$ に、粒子 $k$ が $\bm r_a$ に、存在する状態と

は物理的に区別されない、同一の状態である、というのが同種粒子の不可弁別性である。

量子力学では観測するまで粒子の位置は決まっていない。

観測した結果、2カ所に電子が見つかったとして、
それらのどちらがどちらの電子かを判別する方法はない。
そもそもそれら2つの状態は区別できない、
として構築した理論が現実をよく再現する。

上記を式で書けば、
したがって、そもそもそれら2つの状態は区別できないものとして扱うべきだ、
とするのが不可弁別性であり、これに基づき構築した理論が現実をよく再現する。

&math(
&\big|\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\big|^2\\
=&\big|\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\big|^2\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);
すべての粒子に「個別の軌道」が存在することをよりどころとする
古典論とは大きく異なる考え方であることに注意せよ。

すなわち、同種の2つの粒子の位置座標を入れ替えても、波動関数の絶対値は変化せず、
その位相のみが変化する。
繰り返しになるが、不可弁別性はシュレーディンガー方程式から導かれるものではない。
物理的に正しい波動関数はシュレーディンガー方程式を満たす&ruby(・・・・・){だけでなく};、
不可弁別性とも矛盾しないことが求められるのである。
* 多粒子系の物理量 [#i5550a42]

この位相変化の大きさを見積もるのに、多くの教科書では次のような議論が行われる。
粒子1と2とが同種である場合、粒子の不可弁別性により、

>位置の入れ替えで生じる位相変化の大きさを &math(C); とする、~
すなわち、~
&math(
C&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\
=\phantom{C}&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\\
&\hspace{1.3cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);~
もう一度入れ替えると元に戻るから、~
&math(
C^2&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\
=C&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\\
=\phantom{C}&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\
&\hspace{1.3cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);~
ここから &math(C^2=1); が得られ、&math(C=\pm 1); を得る。~
- 粒子1の位置
- 粒子2の運動量

ただ、&math(C); が &math(\bm r_a, \bm r_b); に依存しない定数であるというのは
それほど自明なことではない。
&math(C); を定数とする理論が実験結果を良く再現するので、その点は安心できるが、
&math(C=\pm 1); に限られるというのは粒子の不可弁別性だけからは導出できない、
それ以上の内容を含む原理だと認識すべきである。
などの物理量は、「観測可能量」とはならない。
粒子1と粒子2とが区別できないとすれば、このような物理量を測定することは不可能だからだ。

&math(C); が &math(+1); となるか &math(-1); となるかは粒子の種類により異なり、
電子では &math(-1); に、光子では &math(+1); になる。
観測可能(定義可能)な物理量としては、

前者のように &math(C=-1); となる粒子はフェルミ粒子(フェルミオン)と呼ばれ、~
後者のように &math(C=+1); となる粒子はボーズ粒子(ボゾン)と呼ばれる。
- 全エネルギー
- 全運動量
- 全角運動量

* パウリの排他律 [#ze677499]
のような「全粒子の物理量の総和」や、

フェルミオンに関する著しい性質として、
2つのフェルミオンが同じ座標にいる確率は常にゼロになる。
- ある範囲に入る粒子の数
- 上向きスピンを持つ粒子の数

なぜならこの場合、2つの位置座標を入れ替えても関数形が変わらないため、
のように「ある条件を満たす粒子数」など、~
「個々の粒子を区別せずに定義できるもの」のみとなる。

&math(
&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_a,\dots,t)=C\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_a,\dots,t)\\
);
* 粒子の入れ替え演算子とその固有値 [#o688ef49]

&math(
&(1-C)\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_a,\dots,t)=0\\
);
不可弁別性が成り立つとき、同種粒子 $j$ と $k$ とを入れ替えた状態は同じ状態を表すから、

&math(
&2\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_a,\dots,t)=0\\
);
$$\begin{aligned}
&\big|\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\big|^2\\
=&\big|\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\big|^2\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
\end{aligned}$$

となり、波動関数の値がゼロになる。
でなければならない。すなわち、

ボゾンの場合には &math(1-C=0); となるため、必ずしも波動関数はゼロとならず、
同じ座標に複数の粒子が存在することが可能である。
$$\begin{aligned}
&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\
=C&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\ \ \ ただし |C|=1\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
\end{aligned}$$

スピン座標も考慮すると、位置座標とスピン座標の両方が等しい確率がゼロになる。
すなわち、スピンが異なれば同じ粒子が同じ位置座標に存在できるので注意せよ。
であるから、同種の2つの粒子の座標(一般には空間座標+スピン座標)を入れ替えても、
波動関数の絶対値は変化せず、位相のみが変化することになる。

* 相互作用のない2つの粒子 [#ec9cc311]
不可弁別性だけが条件であれば、
$C$ は時刻 $t$ や位置座標 $\bm r_k$ の関数であっても構わないのであるが、
実際には $C$ の値は粒子の種類によって $\pm 1$ のどちらか一方を取らなければならないことが知られている。

例として、遠く離れた2つの水素原子の基底状態を考える。
このことを、「関数に作用して粒子 $j$ と $k$ の座標入れ替える」
という「座標の入れ替え演算子 $\hat P_{jk}$ 」を導入して解説する。

2つの原子が遠く離れていれば、
原子核 1 の周りの電子の確率分布や、原子核 2 の周りの電子の確率分布は、
水素原子が1個しかない場合の確率分布と ほぼ等しいはずである。
まず、この $\hat P_{jk}$ は線形演算子である。

孤立水素原子の基底状態の、時間によらない波動関数を &math(\varphi_0(\bm r)); とすれば、
$$\begin{aligned}
\hat P_{12}\big[af(\bm r_1,\bm r_2)+bg(\bm r_1,\bm r_2)\big]
&=af(\bm r_2,\bm r_1)+bg(\bm r_2,\bm r_1)\\
&=a\big[\hat P_{12}f(\bm r_1,\bm r_2)\big]+b\big[\hat P_{12}g(\bm r_1,\bm r_2)\big]\\
\end{aligned}$$

すなわち、~
原子核 1 の周りの電子の存在確率は &math(|\varphi_0(\bm r-\bm R_1)|^2);~
原子核 2 の周りの電子の存在確率は &math(|\varphi_0(\bm r-\bm R_2)|^2);~
とほぼ等しいことになる。ただし、&math(\bm R_1,\bm R_2); は2つの原子核の位置を表す。
したがって、その「固有状態」を考えることができる。
固有関数の1つを $\Phi$ とすると、

そこで、
$$\begin{aligned}
\hat P_{jk}&\Phi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots)=C\Phi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots)\\
=&\Phi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots)
\end{aligned}$$

&math(\varphi_1(\bm r)=\varphi_0(\bm r-\bm R_1));~
&math(\varphi_2(\bm r)=\varphi_0(\bm r-\bm R_2));
が成り立ち、このとき $C$ は $\hat P_{jk}$ の固有値であるから、$\bm r_a,\bm r_b$ によらない定数である。

と置き、系全体の波動関数を
さらに、$\hat P_{jk}^2$ は恒等変換となるから $C^2=1$ 
であり、そこから $\hat P_{jk}$ に固有値が存在すれば $C=\pm 1$ に限られる。

&math(\Phi_\mathrm{d}(\bm r_1,\bm r_2)=\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2));
多粒子波動関数は必ず同種粒子に対する $\hat P_{jk}$ の固有関数になっている、ということを言いたいのだがその前に、そのような固有関数が必ず存在することと、固有関数は時間発展しても固有関数のままであることと、を見ることにする。

としてみると、
* 多粒子ハミルトニアンの対称性 [#jc3b610f]

&math(|\Phi_\mathrm{d}(\bm r_1,\bm r_2)|^2=|\varphi_1(\bm r_1)|^2|\varphi_2(\bm r_2)|^2);
シュレーディンガー方程式に従い時間発展する波動関数に対しては $C$ (の期待値)が時間的依存しない定数となることを多粒子ハミルトニアンの対称性から以下のように導ける。

となり、電子 1 の空間分布は電子 2 の位置によらず &math(|\varphi_1(\bm r_1)|^2); で表され、
電子 2 の空間分布は電子 1 の位置によらず &math(|\varphi_2(\bm r_2)|^2); で表される。
2つの陽子の位置を $\bm R_1,\bm R_2$ に固定した水素様「分子」の2つの電子に対するポテンシャルは、それぞれの座標を $\bm r_1,\bm r_2$ として

また、系のハミルトニアンは、
$$\begin{aligned}
V(\bm r_1,\bm r_2)&=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\Biggl[
\underbrace{
\frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_1|}+
\frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_2|}}_{電子1と原子核}+
\underbrace{
\frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_1|}+
\frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_2|}}_{電子2と原子核}+
\underbrace{\frac{+1}{|\bm r_1-\bm r_2|}}_{\text{電子間相互作用}}
\Biggr]\\
&=V_{1体}(\bm r_1)+V_{1体}(\bm r_2)+V_{2体}(\bm r_1,\bm r_2)
\end{aligned}$$ 

&math(
\hat H=
-\frac{1}{2m}\bm \nabla_{\bm r_1}^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{|\bm r_1-\bm R_1|}
-\frac{1}{2m}\bm \nabla_{\bm r_2}^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{|\bm r_2-\bm R_2|}
);
と書ける。

であるから、上記波動関数に作用させれば &math(E=2\varepsilon); が得られる。
このポテンシャルが2つの電子の位置座標 $\bm r_1,\bm r_2$ 
の入れ替えに対して対称性を持っている(値が変わらない)ことに注意せよ。

すなわち、この状態は電子 1 が原子核 1 に、電子 2 が原子核 2 に束縛された状態を表している。
$$\begin{aligned}
\hat P_{12}V(\bm r_1,\bm r_2)&=V(\bm r_2,\bm r_1)\\
&=V(\bm r_1,\bm r_2)
\end{aligned}$$

上で学んだことには、このように電子 1 と電子 2 が区別される波動関数は不可弁別性を満たしていない。
電子はフェルミオンであるから、&math(\Phi(\bm r_2,\bm r_1)=-\Phi(\bm r_1,\bm r_2));
とならなければならないが、上の波動関数はこれを満たさないのである。
したがって、ハミルトニアンも入れ替えに対して対称になる。

正しい波動関数は、~
電子 1 が原子核 1 に、電子 2 が原子核 2 に束縛された状態と、~
電子 1 が原子核 2 に、電子 2 が原子核 1 に束縛された状態と、~
を、等しい確率で混ぜ合わせて得られる。
この例に限らず、また、2粒子系に限らず、一般にハミルトニアンは同種粒子の入れ替えに対して対称な形をしている。~
 ↔ 質量やポテンシャル=相互作用が異なる粒子は「同種」と言えない

&math(\Phi(\bm r_1,\bm r_2)=C_1\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)+C_2\varphi_2(\bm r_1)\varphi_1(\bm r_2));
粒子 $j,k$ が同種粒子であれば $\hat P_{jk}$ は $\hat H$ と可換となる。なぜなら、任意の $\Psi$ に対して、

等確率にするためには &math(|C_1|=|C_2|); とすべきであり、フェルミオンでは &math(\pm C); の形にすればよい。一見、&math(C=1/\sqrt 2); とすれば良さそうであるが、今考えている問題のように &math(\varphi_1); と &math(\varphi_2); とが直交しない場合には &math(C=1/\sqrt 2); と取っても規格化は達成されない。このことは下でもう少し詳しく見る。
$$
\hat P_{jk}\big\{\hat H\Psi\big\}=\big\{\hat P_{jk}\hat H\big\}\big\{\hat P_{jk}\Psi\big\}=\hat H\big\{\hat P_{jk}\Psi\big\}
$$

&math(\Phi(\bm r_1,\bm r_2)=C\big\{\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)-\varphi_1(\bm r_2)\varphi_2(\bm r_1)\big\});
すなわち、

この波動関数が &math(\Phi(\bm r_2,\bm r_1)=-\Phi(\bm r_1,\bm r_2)); を満たすことは容易に確かめられる。
$$\hat P_{jk}\hat H=\hat H\hat P_{jk}$$ あるいは $[\hat P_{jk},\hat H]=0$ 

以上が1粒子の波動関数から粒子の不可弁別性を考慮して2粒子の波動関数を作る際の標準的な手順となる。
このことから、

※ボーズ粒子であれば、&math(C_1=C_2=C); と取ればよい。
+ 両者の同時固有関数が存在すること(← [[不確定性原理>量子力学Ⅰ/不確定性原理#hb461116]] で学んだ)~
(指摘し忘れていたが $\hat P_{jk}^2$ はエルミートである($(\hat P_{jk}\phi',\phi)=(\phi',\hat P_{jk}\phi)$)
+ $\hat P_{jk}$ に対応する物理量は定数であり、時間によらないこと~
$\frac{d}{dt}\langle C\rangle=\langle\frac1{i\hbar}[\hat P_{jk},\hat H]\rangle=0$
(← [[エーレンフェストの定理>量子力学Ⅰ/エーレンフェストの定理#j882b192]]で学んだ)

** 確率分布 [#y920ce4b]
が結論される。

&math(
\Big|\Phi(\bm r_1,\bm r_2)\Big|^2 &=C^2\Big[
\big|\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)\big|^2+\big|\varphi_1(\bm r_2)\varphi_2(\bm r_1)\big|^2
-\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)\varphi_1^*(\bm r_2)\varphi_2^*(\bm r_1)
-\varphi_1^*(\bm r_1)\varphi_2^*(\bm r_2)\varphi_1(\bm r_2)\varphi_2(\bm r_1)
\Big]\\
&=C^2\Big[
\big|\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)\big|^2+\big|\varphi_1(\bm r_2)\varphi_2(\bm r_1)\big|^2
-2\,\mathrm{Re}\Big\{\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)\varphi_1^*(\bm r_2)\varphi_2^*(\bm r_1)\Big\}
\Big]\\
);
すなわち、時間に寄らないシュレーディンガー方程式の解(ハミルトニアンの固有関数)であり、
なおかつ $\hat P_{jk}$ の固有状態となるような波動関数が存在する。
現実の(非定常な)波動関数はそのような同時固有状態の線形結合で表される。
(($\hat P_{jk}$ がエルミートであれば $\phi_{\text{sym}}$ を $1$ の、$\phi_{\text{asym}}$ を $-1$ の固有関数として任意の関数を $\phi=A\phi_{\text{sym}}+B\phi_{\text{asym}}$ と展開できるが、この $\phi$ が $|\phi|^2=|\hat P_{jk}\phi|^2$ を満たすとすると、$|A\phi_{\text{sym}}+B\phi_{\text{asym}}|^2=|A\phi_{\text{sym}}-B\phi_{\text{asym}}|^2$ を得る。たぶんここから $A$ か $B$ のどちらかがゼロであることは導けないので、現実の波動関数が $\hat P_{jk}$ の固有関数となることは、$|\phi|^2=|\hat P_{jk}\phi|^2$ の要請とは別の要請になっているんだと思う。))

1粒子の時間によらない波動関数は常に実数に取れることを利用すると、
そして、系がある時刻において $\hat P_{jk}$ の固有状態にあれば、
時刻が変化してもやはり同じ固有値($+1$ または $-1$)
の固有状態のままである。

&math(
\Big|\Phi(\bm r_1,\bm r_2)\Big|^2 
&=C^2\Big[
\big|\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)\big|^2+\big|\varphi_1(\bm r_2)\varphi_2(\bm r_1)\big|^2
-2\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)\varphi_1(\bm r_2)
\Big]\\
);
* ボゾンとフェルミオンの対称性・反対称性 [#s491e79c]

ここから、粒子1の確率分布を求めると、
場の量子論などの進んだ研究から、
多粒子系の波動関数はシュレーディンガー方程式の解になることに加えて
任意の同種粒子に対する入替操作 $\hat P_{jk}$ に対する
固有関数になっているという条件も満たさねばならないことが知られている。

&math(
P(\bm r_1)
&=\int\Big|\Phi(\bm r_1,\bm r_2)\Big|^2 d\bm r_2\\
&=C^2\Big[
\big|\varphi_1(\bm r_1)\big|^2\int\big|\varphi_2(\bm r_2)\big|^2d\bm r_2+\big|\varphi_2(\bm r_1)\big|^2\int\big|\varphi_1(\bm r_2)\big|^2d\bm r_2
-2\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_1)\int\varphi_2(\bm r_2)\varphi_1(\bm r_2)d\bm r_2
\Big]\\
&=C^2\Big[
\big|\varphi_1(\bm r_1)\big|^2+\big|\varphi_2(\bm r_1)\big|^2
-2\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_1)\int\varphi_2(\bm r_2)\varphi_1(\bm r_2)d\bm r_2
\Big]\\
);
例えば電子2個、光子2個からなる系の波動関数 $\Psi$ について、
$1$ 番目と $2$ 番目が電子であれば $\hat P_{12}$ に対する固有値は $-1$ となり、$3$ 番目と $4$ 番目が光子であれば、$\hat P_{34}$ に対する固有値は $+1$ となる。したがって、この波動関数は、

&math(\varphi_1); と &math(\varphi_2); とが直交する場合には
&math(\int\varphi_2(\bm r_2)\varphi_1(\bm r_2)d\bm r_2=0); であるから
第3項は消えて、
$$\hat H\Psi=E\Psi$$
$$\hat P_{12}\Psi=-\Psi$$
$$\hat P_{34}\Psi=\Psi$$

&math(
P(\bm r_1)
&=\frac{1}{2}\Big[
\big|\varphi_1(\bm r_1)\big|^2+\big|\varphi_2(\bm r_1)\big|^2
\Big]\\
);
を満たさなければならないことになる。(本当は、光子などを扱うには相対論的効果や生成・消滅過程を考慮した記述が必要になるため この書き方はかなり問題があるのだが・・・雰囲気だけ読み取って欲しい。)

粒子の確率分布は単に &math(|\varphi_1|^2); と &math(|\varphi_2|^2); 
の平均値となる。
入れ替え演算子の固有値は $C=\pm 1$ に限られるのであった:

一方、&math(\varphi_1); と &math(\varphi_2); とが直交しない場合には、
&math(\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_1)); がゼロと見なせない領域、つまり
&math(\varphi_1); と &math(\varphi_2); とが両方ともゼロと見なせない領域で、
&math(|\varphi_1|^2); と &math(|\varphi_2|^2); の平均値からずれることになる。
((&math(\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_1)); がゼロと見なせない領域が存在することは、2つの粒子が相互作用をしないという仮定に反することになるため近似の精度には注意が必要である))
- $C=-1$ となる粒子はフェルミ粒子(フェルミオン)と呼ばれる~
→ スピンは半整数値を取る
-- 素粒子とされるクォーク(通常単独では存在しない)やレプトン(電子やニュートリノなど)
-- 3つのクォークからなるハドロン(陽子や中性子など)
-- 奇数個のフェルミオンが硬く結びついた粒子(He^^3^^ 原子 = 陽子×2+中性子×1+電子×2 など)~
 → そのような粒子の入れ替えはフェルミオンの奇数回の入れ替えに分解できる~
~
- $C=+1$ となる粒子はボーズ粒子(ボゾン)と呼ばれる~
→ スピンは整数値を取る
-- 素粒子の間の相互作用を媒介するゲージ粒子である光子やウィークボソン、グルーオンなど(それぞれ電磁気力、弱い力、強い力を媒介)
-- 偶数個のフェルミオンが強く結びついた粒子(超流動を生じる He^^4^^ 原子 = 陽子×2+中性子×2+電子x2、超伝導を担うクーパー対 = 電子×2 など)~
 → そのような粒子の入れ替えはフェルミオンの偶数回の入れ替えに分解できる
-- フォノンやプラズモンなど、集団励起状態を表す準粒子

2つの波動関数を水素原子の基底状態を模して &math(\propto e^{-|\bm r-\bm R|});
と置き、&math(P(\bm r_1)); を計算した結果を以下に示す。
すべての量子力学的粒子はこのどちらかに属する。

&ref(two-hydrogens-2d.png);
重要なことなのでもう一度書くと、粒子の入れ替えに対する
フェルミ粒子の反対称性 $\hat P_{jk}\Psi=-\Psi$ や
ボーズ粒子の対称性 $\hat P_{jk}\Psi=\Psi$ 
は、「シュレーディンガー方程式とは独立した基本原理」であるから、
多粒子系の波動関数を求める際には、それがシュレーディンガー方程式を満たすことに加えて、
これらの対称性を備えていることも確認しなければならない。

&ref(two-hydrogens-profile.png);
以下では主に電子を想定して、フェルミオンについて主に学ぶ。
ボゾンについては付録的に述べる。

* スレーター行列式 [#o506f6bd]
** 波動関数の一意性 [#t95bbee6]

上でフェルミオンの波動関数が以下の性質を持っていることを学んだ。
逆に言えば、与えられたポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式(+境界条件+規格化条件)だけでは
数学的に波動関数を一意に定めることはできず、
対称性を指定して始めて波動関数が1つに定まるのである(位相因子を除いて)。
* パウリの排他律1 [#ze677499]

- 座標を入れ替えると符号が反転する
- 同じ座標が2つ以上あるとゼロになる
フェルミオンに関する著しい性質として、
2つのフェルミオンが同じ座標を取る確率は常にゼロになる。

これは行列式の以下の性質とよく似ている。
なぜならこの場合、2つの位置座標を入れ替えても形が変わらないため、

- 2つの行を入れ替えると符号が反転する
- 同じ行が2つ以上あるとゼロになる
$$\begin{aligned}
\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=C\Psi(\dots,\,&\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)\\
&\ \ \uparrow\hspace{17mm}\uparrow\\
&\ \ \ 入れ替えた
\end{aligned}$$

実際、上で見た2電子の波動関数は
$$
(1-C)\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0
$$

&math(
\Phi(\bm r_1,\bm r_2)
&=\frac{1}{\sqrt 2}\Big[\varphi_1(\bm r_1)\varphi_2(\bm r_2)-\varphi_1(\bm r_2)\varphi_2(\bm r_1)\Big]\\
&=\frac{1}{\sqrt 2}\left|\begin{matrix}
\varphi_1(\bm r_1) & \varphi_1(\bm r_2) \\
\varphi_2(\bm r_1) & \varphi_2(\bm r_2) \\
\end{matrix}\right|
);
フェルミオン $C=-1$ では

のように2×2の行列式の形に表せる。
$$
2\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0
$$

一般の多粒子系においても、
となり、波動関数の値がゼロであることが導かれるためだ。
これはパウリの排他律の一例となっている。

&math(
\Phi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)
&=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left|\begin{matrix}
\varphi_1(\bm r_1) & \varphi_1(\bm r_2) & \dots  & \varphi_1(\bm r_n) \\
\varphi_2(\bm r_1) & \varphi_2(\bm r_2) &        & \vdots \\
\vdots             &                    & \ddots & \vdots \\
\varphi_n(\bm r_1) & \dots              & \dots  & \varphi_n(\bm r_n) \\
\end{matrix}\right|
);
ここで、$s_?$ はスピン座標である。この授業ではスピンについて深く学ばないが、
スピンが異なれば波動関数値が異なって構わないため、ここで言う「同じ座標」とは、
「同じ空間座標かつ同じスピン」という意味に捉えて欲しい。

とすることで、相互作用を無視できる &math(n); 個の粒子の波動関数を1粒子の波動関数から作れる。
ボゾンの場合には $1-C=0$ となるため、必ずしも波動関数はゼロとならず、
同じ座標に複数の粒子が存在できる。

この右辺に現れる行列式はスレーター行列式と呼ばれる。
* 質問・コメント [#t9e105fe]

行列式の定義により、右辺には &math(n!); 個の項が現れる。
それぞれの項は、&math(n); 個の粒子をそれぞれどの1粒子状態に割り当てるか、
の割り当て方の1つ1つに対応し、その割り当て方は &math(n!); 通り存在する。
それらに適切な符号を付け、均等に加えたのがスレーター行列式である。
#article_kcaptcha
**質問 [#mc656d16]
>[[岡野]] (&timetag(2020-03-12T04:44:52+09:00, 2020-03-12 (木) 13:44:52);)~
~
同種粒子の不可弁別性は不確定性原理による性質ということですか~

&math(
\Phi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)
&=\frac{1}{\sqrt{n!}}\sum_{(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)}\sigma(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)
\varphi_1(\bm r_{p_1})\varphi_2(\bm r_{p_2})\dots\varphi_n(\bm r_{p_n})
);
//
- 不確定性原理は非可換な演算子で表される2つの物理量を同時に測定した際の確率分布の広がりに関する原理であるのに対して、同種粒子の不可弁別性は粒子の入れ替えに対するハミルトニアンの対称性と関連する波動関数の性質に関する原理ですので、少なくともこの授業で扱う範囲ではまったく独立のものととらえて構わないと思います。もっと進んだ理論において両者を関連付ける話題があるのかどうか、、、勉強不足でわからないのですが、なにかそういった話があるのでしょうか? -- [[武内(管理人)]] &new{2020-03-12 (木) 16:20:26};
- 小出昭一郎著,量子力学IIの11ページにある説明は、粒子の位置と運動のどちらも完全には定められないという点を理由に説明を進めているので、同種粒子の不可弁別性は不確定性原理によるのであるのかと疑問に感じ、質問させていただきました。 -- [[岡野]] &new{2020-03-13 (金) 10:03:27};

※ボゾンの場合には各項の符号を与える &math(\sigma(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n)); の部分を &math(+1); 
に置き換えればよい
#comment_kcaptcha


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