球対称井戸型ポテンシャル/メモ のバックアップ(No.1)

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球ベッセル関数の導出

 &math( R''+\frac{2}{\rho}R'+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 );

\rho\to\infty にて R''=-R となるから、 R(\rho)\propto\sin \rho または R(\rho)\propto\cos \rho となる。 そこで、

 &math( R(\rho)=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k} );

と置いて代入すれば、

 &math( R''&=\sum_{k=0}^\infty \left[ k(k+1)\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}

  • k\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}
  • \frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\right]\\ );

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