球対称井戸型ポテンシャル/メモ のバックアップソース(No.1)

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* 球ベッセル関数の導出 [#q4e20ed3]

 &math(
R''+\frac{2}{\rho}R'+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0
);

は &math(\rho\to\infty); にて &math(R''=-R); となるから、
&math(R(\rho)\propto\sin \rho); または &math(R(\rho)\propto\cos \rho); となる。
そこで、

 &math(
R(\rho)=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}
);

と置いて代入すれば、

 &math(
R''&=\sum_{k=0}^\infty \left[
k(k+1)\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}
-k\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}
-\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\right]\\
);

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