球座標を用いた変数分離/メモ のバックアップソース(No.1)

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[[量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子]]

* 解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離 [#cabc7bba]

&math(\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)); と置けば、

 &math(
&\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\
);

 &math(
&\frac{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\
);

左辺は &math(r); のみの関数、右辺は &math(\theta,\phi); のみの関数であるから、
これらは定数でなければならない。

その定数を後を見越して &math(l(l+1)); と置いておく。すなわち、

 &math(
&\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1) R(r)\\);

 &math(
&-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}-\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\Big)R(r)=\varepsilon R(r)\\
);

 &math(
\hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0
);

のように、動径方向の方程式と回転方向の方程式に分離された。

回転方向の方程式には &math(V(r)); が含まれないため、
具体的なポテンシャルの形状に依らず解くことができる。

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