球座標を用いた変数分離/メモ のバックアップソース(No.3)

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[[量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子]]

* 解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離 [#cabc7bba]

(1) 

 &math(
\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}(r\varphi)
&=\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\left(r\frac{\PD}{\PD r}\varphi\right)\\
&=\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{\PD^2}{\PD r^2}\varphi\\
);

(2)

 &math(
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)
);

より、

 &math(
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\right)+
V(r)\right\}\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)
);

(3)

&math(\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)); を代入すれば、

 &math(
&\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\
);

 &math(
&\left\{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\right\}\frac{1}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}=l(l+1)\\
);

一行目の左辺は &math(r); のみの関数、右辺は &math(\theta,\phi); のみの関数であるから、
これらは定数でなければならない。
その定数を後を見越して &math(l(l+1)); と置いた。

&math(R(r)); について、

 &math(
&r\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1)R(r)\\
&\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}\Big(\varepsilon-V(r)\Big)rR(r)=\frac{l(l+1)}{r^2}rR(r)\\
&-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r)\\
);

&math(Y(\theta,\phi)); について、

 &math(
\hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0
);

(4) &math(\hat l^2=-\hbar^2\hat\Lambda); より、

 &math(\hat l^2Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)Y(\theta,\phi));

&math(\hat\Lambda); は &math(R(r)); には作用しないので、

 &math(\hat l^2R(r)Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)R(r)Y(\theta,\phi));

すなわち、

 &math(\hat l^2\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)\varphi(r,\theta,\phi));

(5) &math(l=mr^2\omega); より &math(\omega=l/mr^2);

&math(\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2=-\frac{l^2}{mr^3}); より

 &math(V_c(r)=mr^2\omega^2/2);

ただし原点におけるポテンシャルをゼロとした。&math(l=mr^2\omega); を使って書き直せば、

 &math(V_c(r)=\frac{l^2}{2mr^2});

一方、(3) で得た方程式に現れる項は、&math(Y(\theta,\phi)); に対して &math(\hat l^2=\hbar^2l(l+1)); より、

 &math(V_c(r)=\frac{\hat l^2}{2mr^2});

と書ける。

&math(l); が一定となる条件を忘れて &math(\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2); をそのまま積分すると
符号が変わり &math(V_c(r)=-mr^2\omega^2/2); となってしまうため注意せよ。

(6)

 &math(
&\left\{\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+
\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right\}
\Theta(\theta)\Phi(\phi)=-l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\\
&\left[\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+
l(l+1)\sin^2\theta\right\}\Theta(\theta)\right]\frac{1}{\Theta(\theta)}
=\left\{-\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\right\}\frac{1}{\Phi(\phi)}\\
&=m^2
);

2行目の左辺は &math(\theta); だけの、右辺は &math(\phi); だけの関数であるため、
定数 &math(-m^2); と置いた。

&math(\Theta(\theta)); について、

 &math(\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+
l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0);

&math(\Phi(\phi)); について、

 &math(\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi));

(7) (6) より、

 &math(\frac{\PD}{\PD \phi}\Phi(\phi)=im\Phi(\phi));

一方、&math(\hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}); より、

 &math(\hat l_z\Phi(\phi)=\hbar m\Phi(\phi));

また、&math(\hat l_z); は &math(R(r),\Theta(\theta)); には作用しないため、

 &math(\hat l_zR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=\hbar mR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi));

 &math(\hat l_z\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar m\varphi(r,\theta,\phi));

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