量子力学Ⅰ/３次元調和振動子のバックアップソース(No.1)

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#mathjax

* $x,y,z$ 座標形で求めた解と球座標解との対応 [#r859e16f]

３次元調和振動子を &math(x,y,z); 座標で説いた結果得られた解をエネルギーの低いものから並べれば、

|CENTER:|CENTER:|CENTER:|CENTER:|c
|&math(n=n_x+n_y+n_z);|　n_x　|　n_y　|　n_z　|
|0|0|0|0|
|1|1|0|0|
|~|0|1|0|
|~|0|0|1|
|2|2|0|0|
|~|0|2|0|
|~|0|0|2|
|~|1|1|0|
|~|0|1|1|
|~|1|0|1|

などとなる。

一方、同じ系を球座標で解けば、

|CENTER:|CENTER:|c
|l|m|
|0|0|
|1|-1|
|~|0|
|~|1|
|2|-2|
|~|-1|
|~|0|
|~|1|
|~|2|

のように、&math(l=0); の解は縮退がなく、&math(l=1); の解は３重に、&math(l=2); は５重に縮退していることが期待される。

したがって、
- 縮退のない &math(n=0); は &math(l=0); の s 状態
- ３重に縮退した &math(n=1); は &math(l=1); の p 状態
- ６重に縮退した &math(n=2); は２つの p 状態、あるいは s 状態と d 状態が１つずつ、縮退した状態((実際にはこの場合は後者である))

にそれぞれ対応していることが期待され、以下に見るように確かにそのようになっている。

* $n=0$ の解 [#d4bfce50]

　&math(\varphi_{000}(\bm r)=\left(\frac{4\pi m\omega}{\hbar}\right)^{3/4}\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}r^2\right));

は &math(\theta,\phi); に依存しておらず、そのような &math(Y_l{}^m); は &math(Y_0{}^0=1/\sqrt{4\pi}); のみである。

すなわち &math(n=0); は s 状態である。

* $n=1$ の解 [#zc579fdf]

　&math(\varphi_{100}(\bm r)=\left(\frac{4\pi m\omega}{\hbar}\right)^{3/4}\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}\,x\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}r^2\right));

　&math(\varphi_{010}(\bm r)=\left(\frac{4\pi m\omega}{\hbar}\right)^{3/4}\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}\,y\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}r^2\right));

　&math(\varphi_{001}(\bm r)=\left(\frac{4\pi m\omega}{\hbar}\right)^{3/4}\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}\,z\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}r^2\right));

ここで、

　&math(
\begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\phi\\
y=r\sin\theta\sin\phi\\
z=r\cos\theta
\end{cases}
);

であるから、

　&math(\varphi_{100}(\bm r)\propto \sin\theta\cos\phi\propto (Y_1{}^1-Y_1{}^{-1})/2);

　&math(\varphi_{010}(\bm r)\propto \sin\theta\sin\phi\propto (Y_1{}^1+Y_1{}^{-1})/2i);

　&math(\varphi_{001}(\bm r)\propto \cos\theta\propto=-Y_1{}^0);

これらはすべて &math(l=1); つまり p 状態であることが分かる。

ここから &math(\varphi_{001}); が &math(\hat l_z); の &math(m=0); に対する固有関数であることが分かる。

&math(\varphi_{100},\varphi_{010}); に対してはそのままでは &math(\hat l_z); の固有関数ではないが、

　&math(\varphi_{100}+i\varphi_{010}\propto Y_1{}^1);

　&math(\varphi_{100}-i\varphi_{010}\propto Y_1{}^{-1});

とすることにより &math(\hat l_z); のそれぞれ &math(m=1,-1); の固有関数となることが分かる。



* $n=2$ の解 [#h1cb7766]
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