電磁ポテンシャルの導入 のバックアップ(No.2)

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電磁気学

電荷密度と電流密度を与えて Maxwell 方程式を解く問題を考える

Maxwell 方程式

\left\{\begin{array}{c@{\ }l@{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }l}\displaystyle \mathrm{rot}\bm E+\frac{\partial \bm B}{\partial t}&=\bm 0&\MARU{1}\\\mathrm{div} \bm B &= 0&\MARU{2}\\\displaystyle\frac{1}{\mu_0}\mathrm{rot} \bm B-\varepsilon_0 \frac{\partial \bm E}{\partial t} &= \bm i&\MARU{3}\\\varepsilon_0\mathrm{div} \bm E &= \rho&\MARU{4}\\\end{array}\right .

に、

  • 電荷密度 \rho(\bm x,t)
  • 電流密度 \bm i(\bm x,t)

を与えて解き、

  • 電場 \bm E(\bm x,t)
  • 磁束密度 \bm B(\bm x,t)

を求める問題を考える。

電磁気学の典型的な問題の1つである

方程式が多すぎる?

ベクトルの x,\, y,\,z 成分を1つ1つ独立変数と考えれば

  • 求める変数は6個
  • 与えられた式は8個

条件が大きすぎて解がないのでは?

→ 実は \MARU{2} \MARU{4} は必要ない

\MARU{2} \MARU{1} に含まれる

\MARU{1} の div を取る

\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\bm E+\mathrm{div}\frac{\partial}{\partial t}\bm B=\mathrm{div} \bm 0

ベクトル解析の公式より、任意の \bm E に対して \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\bm E=0 が成り立つから、

\frac{\partial}{\partial t}(\mathrm{div}\bm B)=0

すなわち、 \mathrm{div}\bm B の値は時間によって変化しない。

したがって、ある時刻、例えば t=0 において \mathrm{div}\bm B(\bm x,0)=0 が成り立っていれば、 \MARU{2} は無くても \MARU{1} のみから任意の時刻 t において \mathrm{div}\bm B(\bm x,t)=0 が保証される。

すなわち、 \mathrm{div}\bm B(\bm x,0)=0 となる「境界条件」を与えることで、 \MARU{2} は必要なくなる。


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