電磁ポテンシャルの導入 のバックアップソース(No.2)

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[[電磁気学]]

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* 電荷密度と電流密度を与えて Maxwell 方程式を解く問題を考える [#c9b93e5b]

Maxwell 方程式

&math(\left\{\begin{array}{c@{\ }l@{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }l}\displaystyle \mathrm{rot}\bm E+\frac{\partial \bm B}{\partial t}&=\bm 0&\MARU{1}\\\mathrm{div} \bm B &= 0&\MARU{2}\\\displaystyle\frac{1}{\mu_0}\mathrm{rot} \bm B-\varepsilon_0 \frac{\partial \bm E}{\partial t} &= \bm i&\MARU{3}\\\varepsilon_0\mathrm{div} \bm E &= \rho&\MARU{4}\\\end{array}\right .);

に、

- 電荷密度 &math(\rho(\bm x,t));
- 電流密度 &math(\bm i(\bm x,t));

を与えて解き、

- 電場 &math(\bm E(\bm x,t));
- 磁束密度 &math(\bm B(\bm x,t));

を求める問題を考える。

電磁気学の典型的な問題の1つである

* 方程式が多すぎる? [#rcf08c0d]

ベクトルの &math(x,\, y,\,z); 成分を1つ1つ独立変数と考えれば

- 求める変数は6個
- 与えられた式は8個

条件が大きすぎて解がないのでは?

→ 実は &math(\MARU{2}); と &math(\MARU{4}); は必要ない

* &math(\MARU{2}); は &math(\MARU{1}); に含まれる [#tbdb1b7e]

&math(\MARU{1}); の div を取る

&math(\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\bm E+\mathrm{div}\frac{\partial}{\partial t}\bm B=\mathrm{div} \bm 0);

ベクトル解析の公式より、任意の &math(\bm E); に対して &math(\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\bm E=0); が成り立つから、

&math(\frac{\partial}{\partial t}(\mathrm{div}\bm B)=0);

すなわち、&math(\mathrm{div}\bm B); の値は時間によって変化しない。

したがって、ある時刻、例えば &math(t=0); において &math(\mathrm{div}\bm B(\bm x,0)=0); が成り立っていれば、&math(\MARU{2}); は無くても &math(\MARU{1}); のみから任意の時刻 &math(t); において &math(\mathrm{div}\bm B(\bm x,t)=0); が保証される。

すなわち、&math(\mathrm{div}\bm B(\bm x,0)=0); となる「境界条件」を与えることで、&math(\MARU{2}); は必要なくなる。

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