電磁気学/Gauss の定理 のバックアップ(No.2)

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電磁気学

Gauss の定理

基本

任意の滑らかなベクトル場 \bm E(\bm x) に対して、その閉曲面 S からの発散を考える。

\int_S \bm E\cdot\bm n dS

この値が次の2つの性質を持つことが基本となる。

  1. 微小領域からの発散は体積に比例する
  2. 全体の発散は微小領域の発散を積算することで求められる

微小量域の発散は体積に比例する

(x,y,z) に存在する dx,dy,dz を辺とする微小な直方体領域に、 x 軸方向の電場 \bm E(x,y,z)=(E_x(x,y,z),0,0) が存在する状況を考える。

divergence.png

それぞれの面から外へ出る発散量を考えると、 y 方向、 z 方向の 電場成分はゼロだから、

&math( &\int \bm E\cdot\bm n dS\\ &=\bm e_x\cdot \bm E(x+dx,y,z) dy\,dz - \bm e_x\cdot \bm E(x,y,z) dy\,dz \\ &+\bm e_y\cdot \bm E(x,y+dy,z) dz\,dx - \bm e_y\cdot \bm E(x,y,z) dz\,dx \\ &+\bm e_z\cdot \bm E(x,y,z+dz) dx\,dy - \bm e_z\cdot \bm E(x,y,z) dx\,dy \\ &=\{E_x(x+dx,y,z)-E_x(x,y,z)\}dy\,dz\\ &=\frac{\PD E_x}{\PD x}dx\,dy\,dz\\ &\prop dx\,dy\,dz );

すなわち、

  • E_x(x+dx)-E_x(x) dx に比例する
  • 面積が dy\,dz に比例する

が合わさって、全体として「体積」に比例することになる。

任意軸方向の電場が存在する時は

&math( \int \bm E\cdot\bm n dS =\Big\{\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}\Big\}dx\,dy\,dz );

となり、この「比例係数」を \DIV\bm E と書く。

&math( \DIV\bm E=\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}=\bm\nabla\cdot\bm E );

全体の発散は微小量域の発散を積算することで求められる

gauss.png


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