電磁気学/Stokes の定理 のバックアップ(No.2)

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電磁気学

Stokes の定理 (ストークスの定理)

任意の滑らかなベクトル場 \bm E(\bm x) に対して、 ある面積 S を囲む閉曲線 C に沿った回転が、 \ROT \bm E の面積分で表わされるという定理。

&math( \oint_C\bm E\cdot d\bm r=\int_S\ROT \bm E\cdot\bm n\,dS );

回転が次の3つの性質を持つことがこの定理の基礎となる。

  • 微小量域の回転は面積に比例する
  • 比例定数は面の法線方向に依存する
  • 全体の回転は部分の回転の和で表せる

微小量域の回転は面積に比例する

一例として、 dx,dy を辺とする微小正方領域において、 y 軸方向の場が存在する場合、 \bm E(x,y,z)=(0,E_y(x,y,z),0)

rot.png

その周囲 C=C_1+C_2+C_3+C_4 を巡る線積分は、

&math( \oint_C\bm E\cdot d\bm r&=\int_{C_1}\bm E\cdot d\bm r+\int_{C_2}\bm E\cdot d\bm r+\int_{C_3}\bm E\cdot d\bm r+\int_{C_4}\bm E\cdot d\bm r\\ &=E_y(x+dx,y,z)\cdot dy+0\cdot dx-E_y(x,y,z)\cdot dy-0\cdot dx\\ &=\{E_y(x+dx,y,z)-E_y(x,y,z)\}\cdot dy\\ &=\frac{\PD E_y}{\PD x}\,dx\,dy );

のように面積 dx\,dy に比例する。

\bm E x 方向成分も考えれば、

&math( \oint_C\bm E\cdot d\bm r=\Big\{\frac{\PD E_y}{\PD x}-\frac{\PD E_x}{\PD y}\Big\}\,dx\,dy );

となる。

比例定数は面の法線方向に依存する

微小量域の回転は面積に比例する物の、向きによって値が異なる。

すなわち、比例係数は法線方向に依存する。

詳細は省くが正しい係数は法線ベクトルを \bm n として、

&math( \ROT \bm E\cdot \bm n );

ただし、

&math( \ROT \bm E=\bm \nabla\times\bm E=\begin{pmatrix} \frac{\PD E_z}{\PD y}-\frac{\PD E_y}{\PD z}\vspace{2mm}\\ \frac{\PD E_x}{\PD z}-\frac{\PD E_z}{\PD x}\vspace{2mm}\\ \frac{\PD E_y}{\PD x}-\frac{\PD E_x}{\PD y}\\ \end{pmatrix} );

である。面が z 軸に垂直すなわち

\bm n=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

のとき、上で見たとおり比例係数が \Big\{\frac{\PD E_y}{\PD x}-\frac{\PD E_x}{\PD y}\Big\} となることを確認せよ。

全体の回転は部分の回転の和で表せる

閉曲面を多数の小領域に分割し、それぞれについて回転を求めれば、 外周を回る回転はそれら小領域の回転の総和と等しい。

stokes.png

例えば図中で赤で示した小領域の回転は、その一辺のみが外周に沿ったものであり、 残りの三辺は隣り合う領域との境界に沿ったものになっている。

しかしこれら隣り合う領域との境界に沿った成分は、 隣の領域の回転に符号を変えて同じ値が現れるため、 総和を取る際に打ち消し合う。

結果的に、総和を取った際に残るのは、注目領域の外周を回る回転となる。

上記を総合することで

&math( \oint_C\bm E\cdot d\bm r=\int_S\ROT \bm E\cdot\bm n\,dS );

を得る。


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