電磁気学/Stokes の定理 のバックアップソース(No.2)
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* Stokes の定理 （ストークスの定理） [#y8a9e0bf]
任意の滑らかなベクトル場 &math(\bm E(\bm x)); に対して、
ある面積 &math(S); を囲む閉曲線 &math(C); に沿った回転が、
&math(\ROT \bm E); の面積分で表わされるという定理。
&math(
\oint_C\bm E\cdot d\bm r=\int_S\ROT \bm E\cdot\bm n\,dS
);
回転が次の３つの性質を持つことがこの定理の基礎となる。
- 微小量域の回転は面積に比例する
- 比例定数は面の法線方向に依存する
- 全体の回転は部分の回転の和で表せる
** 微小量域の回転は面積に比例する [#u44c8afe]
一例として、&math(dx,dy); を辺とする微小正方領域において、
&math(y); 軸方向の場が存在する場合、&math(\bm E(x,y,z)=(0,E_y(x,y,z),0));
&attachref(rot.png,,33%);
その周囲 &math(C=C_1+C_2+C_3+C_4); を巡る線積分は、
&math(
\oint_C\bm E\cdot d\bm r&=\int_{C_1}\bm E\cdot d\bm r+\int_{C_2}\bm E\cdot d\bm r+\int_{C_3}\bm E\cdot d\bm r+\int_{C_4}\bm E\cdot d\bm r\\
&=E_y(x+dx,y,z)\cdot dy+0\cdot dx-E_y(x,y,z)\cdot dy-0\cdot dx\\
&=\{E_y(x+dx,y,z)-E_y(x,y,z)\}\cdot dy\\
&=\frac{\PD E_y}{\PD x}\,dx\,dy
);
のように面積 &math(dx\,dy); に比例する。
&math(\bm E); の &math(x); 方向成分も考えれば、
&math(
\oint_C\bm E\cdot d\bm r=\Big\{\frac{\PD E_y}{\PD x}-\frac{\PD E_x}{\PD y}\Big\}\,dx\,dy
);
となる。
** 比例定数は面の法線方向に依存する [#l6d85ad1]
微小量域の回転は面積に比例する物の、向きによって値が異なる。
すなわち、比例係数は法線方向に依存する。
詳細は省くが正しい係数は法線ベクトルを &math(\bm n); として、
&math(
\ROT \bm E\cdot \bm n
);
ただし、
&math(
\ROT \bm E=\bm \nabla\times\bm E=\begin{pmatrix}
\frac{\PD E_z}{\PD y}-\frac{\PD E_y}{\PD z}\vspace{2mm}\\
\frac{\PD E_x}{\PD z}-\frac{\PD E_z}{\PD x}\vspace{2mm}\\
\frac{\PD E_y}{\PD x}-\frac{\PD E_x}{\PD y}\\
\end{pmatrix}
);
である。面が &math(z); 軸に垂直すなわち
&math(\bm n=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix});
のとき、上で見たとおり比例係数が &math(\Big\{\frac{\PD E_y}{\PD x}-\frac{\PD E_x}{\PD y}\Big\});
となることを確認せよ。
** 全体の回転は部分の回転の和で表せる [#y56bf111]
閉曲面を多数の小領域に分割し、それぞれについて回転を求めれば、
外周を回る回転はそれら小領域の回転の総和と等しい。
&attachref(stokes.png,,50%);
例えば図中でCOLOR(red){赤で示した小領域}の回転は、その一辺のみが外周に沿ったものであり、
残りの三辺は隣り合う領域との境界に沿ったものになっている。
しかしこれら隣り合う領域との境界に沿った成分は、
隣の領域の回転に符号を変えて同じ値が現れるため、
総和を取る際に打ち消し合う。
結果的に、総和を取った際に残るのは、注目領域の外周を回る回転となる。
** 上記を総合することで [#v4a427ed]
&math(
\oint_C\bm E\cdot d\bm r=\int_S\ROT \bm E\cdot\bm n\,dS
);
を得る。
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