スピントロニクス理論の基礎/8-3 の変更点

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#contents

* 8-3 数学的に便利な微分方程式を満たす関数 [#aeffaab6]

** 自由電子のハミルトニアン(フェルミエネルギー分をシフト済み) [#sab7326b]

ポテンシャル成分を含まない自由な電子のハミルトニアン(波数表示)

(8.29)

&math(H_0=\sum_{\bm k,\sigma}\left(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\varepsilon_F \right)c^\dagger_{\bm k,\sigma}c_{\bm k,\sigma});

これは実空間で言えば、

(8.29A)

&math(
H_0(t)&=\int d^3r\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla c(\bm r,t)|^2-\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2 \right)\\
&=K-\int d^3r\,\varepsilon_F|c(\bm r,t)|^2\\
);

ということ。実⇔波数 の変換は (8.74) あたりでちゃんと出てくる。

** Green 関数導出の試行(失敗) [#r6e050cc]

電子密度 &math(n(\bm r,t)=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t) c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0); の括弧の中の2つの &math(c_\mathrm H); の位置と時刻をずらしてみる。(&math(\llangle\ \ \ \rrangle_0); は &math(H_0); で記述される系における期待値を表す。
%%本当なら &math(c_H); を &math(c_{H_0}); のように書いた方が分かりやすいと思うのだが、ここでは教科書に沿って進めることとする%% コメント欄でご指摘の通り &math(c_H); の H はハイゼンベルク表示の H なので、&math(c_H); で正しいですね)

(8.30)

&math(
\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 
= \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\hbar\frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0 
= i\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\big[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)\big] \rrangle_0
);

ここで、&math(H_0); に含まれる &math(\varepsilon_F); の項の交換関係を調べると、

(8.30A)

&math(&\left[-\int d^3r''\varepsilon_F c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\
&=-\varepsilon_F\int d^3r''\left[c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t) c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\right]\\
&=-\varepsilon_F\int d^3r''\left(c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t)\{ c_\mathrm H(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}-\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r'',t), c_\mathrm H(\bm r,t)\}c_\mathrm H(\bm r'',t)\right)\\
&=+\varepsilon_F\int d^3r''\delta^3(\bm r'-\bm r)c_\mathrm H(\bm r'',t)\\
&=+\varepsilon_Fc_\mathrm H(\bm r,t));

したがって (8.24) と合わせれば、

&math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 =
i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2\textcolor{red}{+\varepsilon_F}\right)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0);

&math(H_0); では &math(\varepsilon_F); の符号は負であったが、
ここでは交換関係により正になっている。

しかしこれは Green 関数として利用可能な形(右辺にδ関数が現われる)になっていない。

** 時間順序を使って Green 関数を導く [#hb20614f]

(8.31)

そこで「時間順序」を導入する。

&math(\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0\equiv);

&math(\phantom{+}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);

&math(+\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0);

ここで、

&math(\theta(t)\equiv\begin{cases}
0&(t<0)\\
1&(0<t)\\
\end{cases});

すなわち、&math(c_\mathrm H(\bm r,t)); と &math(c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')); 
の時刻の早いほうを右側に来るように並べた形になっている。

(8.32)

&math(\hbar\frac{\PD}{\PD t}\llangle Tc_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 );

&math(=\hbar\frac{\PD\theta(t-t')}{\PD t} \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + 
\hbar\theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t} \rrangle_0);

&math(-\hbar\frac{\PD\theta(t'-t)}{\PD t} \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 +
\hbar\theta(t-t') \llangle \frac{\PD c_\mathrm H(\bm r,t)}{\PD t}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);

&math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t) \rrangle_0 + i \theta(t-t') \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)] \rrangle_0);

&math(-\textcolor{red}{\hbar}\delta(t'-t) \llangle c_\mathrm H(\bm r,t) c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0 +
i\theta(t-t') \llangle [H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);

&math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \llangle \big\{c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t'),c_\mathrm H(\bm r,t)\big\} \rrangle_0 + i\llangle T[H_0, c_\mathrm H(\bm r,t)]c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);

&math(=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r') + i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right) \llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0);

途中で &math(d\theta(t)/dt=\delta(t));、 &math(\delta(-t)=\delta(t)); および 
&math(\theta(t)+\theta(-t)=1); を使った。

次元について:

- &math(\delta(t-t')); は 1/(時間) の次元
- &math(\hbar\delta(t-t')); は (エネルギー) の次元
- &math(n); や &math(c_\mathrm Hc_\mathrm H^\dagger); は 1/(体積) の次元
- &math(\delta^3(\bm r-\bm r')); も 1/(体積) の次元

ということで、右辺のδ関数には &math(\hbar); が必須。

(8.34)

&math(\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));

&math(i\left(\hbar\frac{\PD}{\PD t}-i\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)\right)
(-i)\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t') \rrangle_0=\textcolor{red}{\hbar}\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));

この期待値に &math(-\frac{i}{\red\hbar}); を掛けた物が時間順序 Green 関数:

(8.35)

&math(g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red \hbar}\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0);

&math(=-\frac{i}{\red \hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle_0
+\frac{i}{\red \hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle_0);

(8.36)

&math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,t,\bm r',t')=\delta(t-t') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));

(ここまでに現われた &math(c_H,c^\dagger_H); は &math(c_{H_0},c^\dagger_{H_0}); 
のことであった)

** 自由でない場合 [#o53e496b]

自由でない場合も含めて、以下の様に &math(G^\alpha); を定義する。(&math(\alpha=t,\overline t,r,a);)

(8.37)

&math(G^t(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red\hbar}\llangle Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle);

&math(=-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle
+\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);

(8.38A)

&math(G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \textcolor{red}{+}\frac{i}{\red\hbar}\llangle \overline Tc_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle);

&math(=
\textcolor{red}{+}\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t )\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle
\textcolor{red}{-}\frac{i}{\red\hbar}\theta(t -t')\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);

(8.38B)

&math(G^r(\bm r,t,\bm r',t')\equiv-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle);

(8.38C)

&math(G^a(\bm r,t,\bm r',t')\equiv \frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle \textcolor{red}{\{}c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle);

(8.32) と同様にして
&math(g_0^t,g_0^{\overline t},g_0^a,g_0^r); のすべてが (8.36) の形の方程式を満たすことが確認できる。

有限の &math(V); を持つ場合の &math(G_0^t,G_0^{\overline t},G_0^a,G_0^r); 
では右辺に &math(V); に起因した項が現われる → (8.103)

すぐ分かるように、

(8.38D)

&math(G^t-G^{\overline t}=G^a+G^r);

の関係が成り立っている。

- &math(G^t); : 時間順序(time order)
- &math(G^{\overline t}); : 逆時間順序(anti time order)
- &math(G^r); : 遅延(retarded)
- &math(G^a); : 先進(advanced)

** Green 関数を用いて電子数密度を表す [#f8716a8d]

(8.39)

&math(n(\bm r, t)=-i{\red\hbar}G^t(\bm r,t,\bm r,t'=t+0));

&math(
=-\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle
+\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);

&math(
=-0\cdot\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')\rrangle
+1\cdot\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);

&math(=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);

&math(=\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle);

&math(t'>t); の条件により &math(\theta(t'-t)); の項のみを残しておいて、
最終的に &math(t'); を &math(t); に近づける。

* 質問・コメント [#k1f743cb]

#article_kcaptcha
**PS [#n79fdffc]
>[[東北大CMPT M2]] (&timetag(2017-05-03T08:53:17+09:00, 2017-05-03 (水) 17:53:17);)~
~
続けて失礼します。~
~
c_Hはc_H0と書いた方が分かりやすいとのコメントですが、c_HのHはハミルトニアンではなくハイゼンベルグ描像を表すHなので、H_0ではなく、Hが適当かと思います。~

//
- おっしゃるとおりでした。ご指摘ありがとうございます。 -- [[武内(管理人)]] &new{2017-05-09 (火) 20:19:53};

#comment_kcaptcha

**(8.30)についてのコメント [#zfa9afe3]
>[[東北大CMPT M2]] (&timetag(2017-05-03T06:47:52+09:00, 2017-05-03 (水) 15:47:52);)~
~
とても参考になりますありがとうございます。~
~
(8.30)について質問です。~
~
多々良さんの本には「時間と位置をずらす」とあります。これは、時間をずらした、つまり tを t-t_s のように時間軸を平行移動したと思うより、「時間を固定した」と表現する方が正しいのではないでしょうか。つまり、「時間をずらす」という表現だと、時刻を計る基準を変えただけであって、微分演算子∂_tはt'にもtにも作用してしまいます。一方で時刻を固定したと思えば、t'は定数なので微分演算子∂_tは作用させなくてすみます。~
~
私の主張は、「C_Hの位置と時刻をずらしてみる」ではなく、「C_Hの位置と時刻を固定する」が適切ではないかということです。~

//
- ここでの「ずらす」は「2つの &math(c_H); に異なる位置と時刻を入れてみた」というニュアンスと理解しているのですが、そういうことではないのでしょうか?私としては「軸を平行移動」の意識はまったくありませんでした。 -- [[武内(管理人)]] &new{2017-05-09 (火) 20:24:40};

#comment_kcaptcha

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