スピントロニクス理論の基礎/8-8 の変更点

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#contents

* 8-8 相互作用の摂動論的扱い [#te6bf6a7]

** 時間発展の分割 [#zd98ee9a]

&math(H=H_0+V);

に対して、

(8.96), (8.97)

&math(U=(U_0U_0^\dagger) U=U_0(U_0^\dagger U)\equiv U_0 U_V);

として、&math(U); を &math(U_0); と &math(U_V); に分けて書く。

(8.98), (8.99)

&math(U); や &math(U_0); の時間微分は (8.3) から得ることができて、

&math(
i\hbar\frac{\PD}{\PD t}U_V&=i\hbar\frac{\PD U_0^\dagger}{\PD t} U+i\hbar U_0^\dagger\frac{\PD U}{\PD t}\\
&=i\hbar\left(\frac{H_0 U_0}{i\hbar}\right)^\dagger U+i\hbar U_0^\dagger \left(\frac{H U}{i\hbar}\right)\\
&=-U_0^\dagger H_0 U + U_0^\dagger H U\\
&=U_0^\dagger (H-H_0) U\\
&=U_0^\dagger V U\\
&=U_0^\dagger V (U_0 U_0^\dagger) U\\
&=V_{H_0}U_V
);

したがって (8.7) と同様にして、

(8.100)

&math(U_V(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'V_{H_0}(t')});

** 経路積分を H__0__ と V で表す [#b1c0553e]

これと &math(O_\mathrm H=U^\dagger O U=U_V^\dagger U_0^\dagger O U_0 U_V=U_V^\dagger O_{\mathrm H_0}U_V); を用いて、

(8.101)

&math(
\overline O(t)&=
\frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{\hbar}+t_0,t_0)U_V^\dagger(t,t_0)O_{\mathrm H_0}(t)U_V(t,t_0)]\\
&\,\textcolor{red}{\stackrel{?}{=}}\,\frac{1}{Z_0}\trace[U_V(-i\beta\textcolor{red}{\hbar}+t_0,t_0)U_V^\dagger(t,t_0)O_{\mathrm H_0}(t)U_V(t,t_0)]\\
&=\frac{1}{Z_0}\trace[T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'V_{\mathrm H_0}(\tau')}O_{\mathrm H_0}(\tau)]\\
&=\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'V_{\mathrm H_0}(\tau')}O_{\mathrm H_0}(\tau)\big\rangle
);

※ (2011.9.5 追記)

この部分について、非常に重要な指摘が佐野先生からあった。

１行目の &math(U(-i\beta\hbar+t_0,t_0)=e^{-\beta H(t_0)}); が、~
２行目では &math(U_V(-i\beta\hbar+t_0,t_0)=e^{-\beta V(t_0)}); になってしまっている。

これは &math(t=t_0); の初期状態で統計平均を取る際のエネルギーを間違えて評価していることを意味し、以降の計算に妥当性が無くなってしまいそうです。

統計平均の重み付けにおいて &math(V(t_0)); の寄与ではなく、
&math(H_0(t_0)); の寄与を忘れているので、
時刻 &math(t_0); で外場がなければ良いという話ではなく、
また今考えているのはフェルミオンなので &math(t_0); 
で温度が &math(T=0); ならば良いという話でもなく、
かなり困りそうな予感がします。

もしかすると &math(t=t_0); の周辺での &math(V(t)); 
の定義をうまくいじることでこの差を吸収るのでは、
と期待するけれど・・・どうなんでしょうね？
※ ここまで追記

最終的にこの結果をどのように計算に生かすかあたりでもう一度振り返ってみたいと思います。
・・・第２刷では、&math(T_C); の部分が &math(T_C\red{U_{C_\beta}}); となっていて、
上記の差異を &math(\red{U_{C_\beta}}); で吸収していた。
(8.102) は以降の議論には使われないので、上記の問題も結果に影響しない。（2012.06.01 追記）

※ ここまで追記

** G を g__0__ で表す [#eefa5f3a]

同様にして、

(8.102)

&math(
G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
&=-i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''V_{\mathrm H_0}(\tau'')}
c_{\mathrm H_0}(\bm r,\tau)c_{\mathrm H_0}^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle
);


・・・ここも、&math(T_C); の部分は &math(T_C\red{U_{C_\beta}}); であるべき（2012.06.01 追記）

(8.63) の &math(H); を &math(H_0+V); に置き換え、(8.24A), (8.30A) を用いれば、

(8.103)

&math(
&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\hbar\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
+i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'H(\tau')}
&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
=\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
+\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[H_0(\tau)+V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&=\hbar\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
&=\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
+\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
\left\{\left(\frac{\hbar^2}{2m}\bm\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)c(\bm r,\tau)\right\}c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&\hspace{4.1cm}+\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&=\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
-\left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)G
+i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
+\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
);

教科書でこの途中経過に &math(\red{U_{C_\beta}}); が一瞬現れる意味が分からない。

&math(
&\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
=\hbar\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
+i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
&\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\red{\bm r}}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')
=\red 1\delta(\tau-\tau')\delta^{\red 3}(\bm r-\bm r')
+\frac{i}{\red \hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\red\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
);

(8.36) より &math(\delta); 関数を &math(g_0); で書き換えられることを利用すると、

(8.104)

&math(
&\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&=
\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\hbar\delta(\tau-\tau_1)\delta^3(\bm r-\bm r_1)\times
\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
&=
\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)
\int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
);

２項目に &math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)); を無理矢理出現させるため、
一旦δ関数をかけて積分する形を作っておいて、そのδ関数を &math(g_0); 
で置き換えた。

*** τ__1__ の積分区間に対する注意 [#b5c1ef70]

&math(\tau); は実時間に投影されるべき値で、&math(\tau\in C_\leftarrow + C_\rightarrow \equiv C_\rightleftarrows); であるから、&math(\tau_1); の積分範囲も &math(C); 全体ではなく、
&math(C_\rightleftarrows=C - C_\beta); の範囲で取ればよい。

&math(
\int_Cd\tau_1\ \ \ \rightarrow\ \ \ \int_{C_\rightleftarrows}d\tau_1
);

この違いは &math(\tau); 上で考える限り意味をなさず、
実際どちらでも結果は同じになるが、
(8.110) あたりで実時間へ射影するときにこの点が効いてくる。

** G を g__0__ と V で表した式 [#t8df4b9f]

(8.105)

&math(
&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&+
\int_{C_\rightleftarrows}d\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times
\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tau''H(\tau'')}
[V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\
);

この式は &math(g_0); と &math(V(t)); から &math(G); を得るための式になっていて、
現段階では近似は入っていないため、&math(V(t)); が大きいときにも正確な式である。

* 質問・コメント [#gc7bf649]

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