スピントロニクス理論の基礎/9-2 の変更点
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#contents
* 9-2 スカラー場により誘起される電流密度 [#ib218595]
** 電流密度を lesser Green 関数で表す [#ce0af783]
(8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う
&math(
\bm j(\bm r,t)
\equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle
\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
);
&math(
&= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
\\ &=
\left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'})
\left[
\frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<
\right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}
\\ &=
-\frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<
);
ここで以下の変数変換を行えば、
&math(\bm k\rightarrow\bm k-\frac{\bm q}{2});、&math(\bm k'\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2});
&math(\omega\rightarrow\omega-\frac{\Omega}{2});、&math(\omega'\rightarrow\omega+\frac{\Omega}{2});
&math(
\bm j(\bm r,t) &=
-\frac{ie\hbar^2}{2mV}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2})
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
\\ &=
-\frac{i\hbar}{a^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m}
G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<
);
** スカラーポテンシャルを反映した Green 関数を代入する [#qcf483cc]
vertex 補正無し、つまり不純物散乱のみの Green 関数を元に &math(\phi);
への線形応答成分を &math(\bm j_\phi^{(0)}); とすると、
(9.4) より、
&math(
\bm j(\bm r,t) &=
-\frac{i\hbar}{a^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m}
\bigg[
2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
+
\underbrace{
\textcolor{red}{e} \phi(\bm q,\Omega) \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
}_{\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t)}
+\cdots
\bigg]
);
(9.5) と比べると、&math(\rho_\phi); で &math(G^<); に掛かっていた
&math(e); の部分を &math(\frac{e\hbar\bm k}{m}); に置き換えた形になっている。
(9.6) 以下で &math(\sum gg); などの評価をしたが、これらの評価をすべて
&math(\sum \bm k gg); に置き換えて評価すればよいことになる。
&math(
\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &=
-\frac{i\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{ma^3}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\phi(\bm q,\Omega)
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
\bm k \Big[
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}
\Big]^<
);
** 主項を取り出す [#c20c2f40]
9-1 章を見直してみると、
&math(
[g_{--}g_{++}]^<
=&\,
\{f(+)-f(-)\}g_{--}^rg_{++}^a
-f(+)g_{--}^rg_{++}^r
+f(-)g_{--}^ag_{++}^a
\\\sim&\,
\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[
2 g_{--}^rg_{++}^a
-(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big]
+f(\omega)(g_{--}^ag_{++}^a-g_{--}^rg_{++}^r)
\\\sim&\,
\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[
2 g_{--}^rg_{++}^a
-(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big]
\\&\,
+f(\omega)\Big[
g_{-0}^ag_{+0}^a-g_{-0}^rg_{+0}^r+
\frac{\Omega}{2}\Big\{g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a)
+g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)\Big\}
\Big]
\\\sim&\,
\underline{\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[
2 g_{--}^rg_{++}^a}
-\underbrace{(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a)}_{O(\hbar/\varepsilon_F\tau)} \Big]
\\&\,
+\underline{f'(\omega)\Big[
(g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r)}
+\underbrace{\frac{\hbar^2q^2}{6m}(g_{\bm k}^a{}^2-g_{\bm k}^r{}^2)}_{O(q^2/k_F^2 )}
\Big]
\\&\,
+f(\omega)\underbrace{\frac{\Omega}{2}\Big[g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a)
+g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)
\Big]}_{O(\hbar \Omega q^2/\varepsilon_F k_F^2)}
);
と変形し、下線部の２項が支配項であった。
同様にして、
&math(
\bm k[g_{--}g_{++}]^<
);
を評価すると、&math((g^a-g^r)); の項は &math(\bm k); に対する和を取る際に空間の対称性によってゼロとなり、
&math(g_{--}^rg_{++}^a); の項のみが残る。
(9.47)
&math(
\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim
-\frac{i\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{ma^3}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\phi(\bm q,\Omega)
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi}
\bm k \Big[ \Omega f'(\omega)
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]
\\&=
\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{2\pi ma^3}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} i\Omega\phi(\bm q,\Omega)
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}
\bm k
g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},-\frac{\Omega}{2}}
g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\frac{\Omega}{2}}
);
** I__q,Ω__ の評価 [#y66a21e3]
&math(\bm k); についての和を &math(\Omega);
の２乗となる項を除いて評価すると（外から &math(\Omega); が掛かっているので、
以下では &math(\Omega); のゼロ次で評価することになる）、
(9.48), (9.49)
&math(
\bm I_{\bm q,\Omega}
\equiv&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\frac{\Omega}{2}}^a
\\\sim&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},0}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},0}^a
\\=&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \Big\{
\underline{g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a}
+\frac{\hbar^2\bm k}{m}\cdot\frac{\bm q}{2} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\Big\}
);
下線を付けた &math(\sum \bm kg^rg^a); は空間の対称性によりゼロとなり、第２項だけが残る。
&math(
\bm I_{\bm q,\Omega}
=&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \,
\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\\=&\,
2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q
);
ちゃんと評価するなら、
&math(
I_{\bm q,\Omega}{}^i
=&\,
\frac{1}{N}\sum_{\bm k}k_i \Big\{
\frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\Big\}
\\=&\,
\frac{-\hbar^2}{2mN}\sum_{j=x,y,z}q_j\sum_{\bm k}k_ik_j
(g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\Big\}
\\=&\,
\frac{-\hbar^2}{2m}\sum_{j=x,y,z} \frac{q_j \delta_{ij} a^3}{(2\pi)^3}
\iiint dk\, kd\theta\,k\sin\theta d\varphi (k\cos\theta)^2
\frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_k)
(g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\\=&\,
\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{q_i a^3}{(2\pi)^3}
\int 4\pi k^2 dk \frac{k^2}{2}
\left[-\frac{1}{3}\cos^3\theta\right]_0^\pi
\frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_k)
(g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\\=&\,
\frac{-q_i}{3}
\int d\varepsilon_k \,
(\varepsilon_k+\varepsilon_F) \nu(\varepsilon_k)
(g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2)
\\=&\,
\frac{-\pi i q_i}{3} \Bigg[
\frac{\D}{\D z} \bigg\{ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{-z-i\delta_\varepsilon} \bigg\}
\bigg|_{z=+i\delta_\epsilon}
- \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{(-z+i\delta_\varepsilon)^2}
\bigg|_{z=-i\delta_\epsilon}
\\& \hspace{5mm}
+ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{(-z- i\delta_\varepsilon)^2}
\bigg|_{z=+i\delta_\epsilon}
-\frac{\D}{\D z} \bigg\{ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{-z+i\delta_\varepsilon} \bigg\}
\bigg|_{z=-i\delta_\epsilon}
\Bigg]
\\=&\,
\frac{-\pi i q_i}{3} \Bigg[
\bigg\{ \textcolor[gray]{0.6}{ \frac{\nu(+i\delta_\epsilon)}{-2i\delta_\varepsilon}
+ \frac{\varepsilon_F\nu'(+i\delta_\epsilon)}{-2i\delta_\varepsilon}}
+ \frac{\varepsilon_F\nu(+i\delta_\epsilon)}{(-2i\delta_\varepsilon)^2} \bigg\}
+ \frac{2\varepsilon_F\nu(0)}{(-2i\delta_\varepsilon)^2}
\\& \hspace{9mm}
- \bigg\{\textcolor[gray]{0.6}{\frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon}
+ \frac{\varepsilon_F\nu'(-i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon}}
+ \frac{\varepsilon_F\nu(-i\delta_\varepsilon)}{(2i\delta_\varepsilon)^2} \bigg\}
\Bigg]
\\=&\,
\frac{\pi i \varepsilon_F\nu(0)}{3\delta_\varepsilon{}^2} q_i
=
\frac{4\pi i \varepsilon_F\nu(0)\tau^2}{3\hbar^2} q_i
=
\frac{2\pi i \nu(0)\tau m}{\hbar^2}
\left(\frac{2\tau\varepsilon_F}{3m}\right) q_i
\\=&\,
2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD q_i
);
この式の最後、係数を &math(D); にまとめる直前の式と
(9.50) とを比べると、(9.50) が &math(\left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2);
だけ小さいことが一目瞭然である。
** vertex 補正 [#ef8cc915]
(9.49) を (9.47) に代入すれば、
(9.51)
&math(
\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim
\frac{\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{2\pi ma^3}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} i\Omega\phi(\bm q,\Omega)
2\pi \nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q
\\&=
\frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
D\bm q\cdot i\Omega \tau
);
(9.52), (9.53) より、vertex 補正を入れた場合に
&math(
\bm I_{\bm q,\Omega}\rightarrow
\frac{1}{Dq^2\tau+i\Omega\tau}\bm I_{\bm q,\Omega}
);
となって、全部含めると、
(9.54)
&math(
\bm j_\phi(\bm r,t) &\sim
\frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
D\bm q\cdot \frac{i\Omega \tau}{Dq^2\tau+i\Omega\tau}
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
\cdot \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2}
);
を得る。
** 電荷保存則の確認 [#jd8205dc]
&math(
\frac{\PD}{\PD t}\rho(\bm r,t) &=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t} e^{-i\bm q\cdot \bm r}\ \phi(\bm q,\Omega) \cdot
\frac{ i\Omega }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
);
に対して、
&math(
-\nabla \cdot \bm j_\phi(\bm r,t) &\sim
\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
\cdot \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2}
\\&=
\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
\cdot \frac{-i\Omega}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\bm q\cdot\bm q}{q^2}
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
\cdot \frac{i\Omega}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
);
より、
(9.55)
&math(\frac{\PD \rho_\phi}{\PD t}=-\nabla \cdot \bm j_\phi(\bm r,t));
が確かめられる。（電荷保存則）
** vertex 補正を入れないと、電荷保存則が成り立たない [#ka4a6bb2]
この電荷保存則が成り立つのは vertex 補正のおかげ、と書いてあるのだが・・・
補正がないときには、
&math(
\frac{\PD}{\PD t}\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t} e^{-i\bm q\cdot \bm r}\ \phi(\bm q,\Omega) i\Omega \cdot \left[
1- i\Omega\tau\cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega}
\right]
);
&math(
-\nabla \cdot \bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim
-\frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
Di\bm q\cdot \bm q\times i\Omega \tau
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}
e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega)
i\Omega \cdot Dq^2 \tau
);
となって、確かに両者は一致しない。
vertex 補正による係数が &math(\rho); では一部分に、&math(\bm j);
では全体に掛かることにより、これらが一致するよう補正が掛かる。
** 局所的な成分と非局所的な成分 [#wea394fb]
(9.45) を変形して、&math(\phi); に直接比例する成分（局所的な成分）と、
それ以外（非局所的な成分）に分離できる。
(9.56)
&math(
\rho_\phi(\bm r,t) &=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\frac{ 1 }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\left(
1-
\frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\right)
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)\phi(\bm r,t)}{a^3}
+\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\\&\equiv
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)\phi(\bm r,t)}{a^3}
+\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)
);
(9.54) を変形して、&math(\bm\nabla\phi); に直接比例する成分（局所的な成分）と、
それ以外（非局所的な成分）に分離できる。
(9.57)
&math(
\bm j_\phi(\bm r,t) &\sim
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\,
e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega)
\frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2}
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\,
e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega)
\left(\frac{i\frac{\Omega}{Dq^2}}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\right)(-i\bm q)D
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\,
e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega)
\left(1-\frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\right)(-i\bm q)D
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)D}{\textcolor{red}{a^3}}\bm \nabla\phi(\bm r,t)
+\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\,
e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega)
\frac{-iD\bm q}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\\&\equiv
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)D}{\textcolor{red}{a^3}}\bm \nabla\phi(\bm r,t)
+\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)
);
上で出てきた、&math(\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)); および &math(\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t));
は、次の通りである。
(9.58)
&math(
\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)\equiv
\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
);
(9.59)
&math(
\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)\equiv
\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\,
e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega)
\frac{-iD\bm q}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
);
** オーミック電流と拡散電流 j^^(D)^^ [#b33e8921]
電流密度 &math(\bm j); が電界すなわち電位の勾配 &math(\bm E=-\bm \nabla \phi);
に比例するというのがオームの法則であるから、(9.57)
の第１項はオーミックな電流である。
&math(\bm j=\sigma \bm E=-\sigma \bm \nabla \phi);
と比較すると、コンダクタンスを
&math(\sigma=\frac{e^2\nu(0)D}{a^3});
と書ける。
これに対し、第２項は電荷密度の勾配に比例する拡散項になっている。
&math(
-D\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) &=
\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\frac{ -iD\bm q }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\\&=
\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)
);
ここから、拡散電流 &math(\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t));
は全電荷の偏りを打ち消す方向 &math(-\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t));
に流れていること、&math(D); が拡散係数であること、を確認できる。~
** 全電流と非局所的電荷 [#w6385f96]
(9.57) と (9.58) を見比べると、
(9.60)
&math(
-D\bm \nabla\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) &=
\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
(-i\bm q )e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\frac{ -i\frac{\Omega}{q^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\\&=
-\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}
\sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \,
e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\
\phi(\bm q,\Omega)
\frac{ 1 }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}
\frac{\Omega \bm q }{q^2}
\\&=
\bm j_\phi(\bm r,t)
);
が成り立つことが分かる。
すなわち、電流密度は電荷の非局所成分の勾配を打ち消すように流れることが分かる。
上記の２つの式、両方成り立つことから何が言えるだろう？
&math(
-D\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) =\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)
);
&math(
-D\bm \nabla\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) = \bm j_\phi(\bm r,t)
);
を仮定すると、
を合わせると、
&math(
-D\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) =
-D\bm \nabla \big(\rho_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)\big)
=-D\bm \nabla \rho_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t) + \bm j_\phi(\bm r,t) =
\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)\\
);
すなわち、
&math(
D\bm \nabla \rho_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t) = \bm j_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t)
);
あれ、負号が逆になる？？？
オーミックな成分と拡散成分と、なんだか不思議な関係がありそうだけど、
まだ全体像が見えていない。
* 質問・コメント [#lbe1bd8d]
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