研究関連/二重界面反射率 の変更点

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[[公開メモ]]

* 2つの界面が連続する場合の反射率 [#g9bcf4d4]

1つの界面における反射率の話はこちら → [[研究関連/反射率・透過率とエバネッセント波]]

2つの平面的な界面で仕切られた領域を入射側から1,2,3と番号付ける。

入射面を &math(x-z); 面として、界面に平行に &math(x); 軸を、垂直に &math(z); 軸を取る。

12境界を &math(z=0);、23境界を &math(z=d); とする。

&math(ij); 境界面での反射率を &math(r_{ij}^s,r_{ij}^p);、透過率を &math(t_{ij}^s,t_{ij}^p);
とすると、全体の反射率を次のように求められる。

領域 &math(i); での進行波を &math(E_i);、逆行波を &math(R_i);、
それぞれの波数を &math(\bm k_i,\bm k_i'); とすると、

&math(z=0); において、

 &math(E_1=1);

 &math(R_1=r_{12}E_1+t_{21}R_2);

 &math(E_2=t_{12}E_1+r_{21}R_2);

 &math(R_2=r_{23}E_2 e^{i k_{2z} d} e^{-i k_{2z}' d}=r_{23}E_2 e^{2i k_{2z} d});

これらを解こう。

 &math(E_2=t_{12}+r_{21}r_{23}E_2 e^{2i k_{2z} d});

 &math(E_2=\frac{t_{12}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}});

 &math(R_2=\frac{t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}});

 &math(R_1=r_{12}+\frac{t_{21}t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}});

&math(r_{ij}=-r_{ji}); &math(t_{ij}t_{ji}+r_{ij}^2=1); を使って、

 &math(
r_{123}&=R_1\\
&=\frac{r_{12}-r_{12}r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}+t_{21}t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}\\
&=\frac{r_{12}+r_{21}^2r_{23} e^{2i k_{2z} d}+t_{21}t_{12}r_{23}e^{2i k_{2z} d}}{1-r_{21}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}\\
&=\frac{r_{12}+r_{23} e^{2i k_{2z} d}}{1+r_{12}r_{23} e^{2i k_{2z} d}}\\
);

以下は界面12で全反射する Otto 配置を想定し、界面23はプラズモンを誘起しうる金属表面と考える。

界面 &math(12); を全反射条件に選ぶとき &math(k_{2z}); は純虚数になるので、
&math(k_{2z}=i\eta_{2z}); と書けば、

 &math(
r_{123}&=\frac{r_{12}+r_{23} e^{-2\eta_{2z} d}}{1+r_{12}r_{23} e^{-2\eta_{2z} d}}\\
);

反射率、透過率は、

 &math(
&r_{ij}^p=\frac{k_{jz}/\varepsilon_j-k_{iz}/\varepsilon_i}{k_{jz}/\varepsilon_j+k_{iz}/\varepsilon_i}\\
&t_{ij}^p=\frac{k_j/\varepsilon_j}{k_i/\varepsilon_i}\frac{2k_{iz}/\varepsilon_i}{k_{jz}/\varepsilon_j+k_{iz}/\varepsilon_i}\\
&r_{ij}^s=\frac{k_{iz}/\mu_i-k_{jz}/\mu_j}{k_{iz}/\mu_i+k_{jz}/\mu_j}\\
&t_{ij}^s=\frac{2k_{iz}/\mu_i}{k_{iz}/\mu_i+k_{jz}/\mu_j}\\
);

であるが、ここでは透磁率の違いは無視できるとし、領域1は光学ガラスで屈折率が &math(n\sim 1.5); 比誘電率は &math(\varepsilon=n^2\sim 2.25); 領域2は大気あるいは真空なので誘電率はほぼ真空と変わらず &math(\varepsilon\sim 1);、領域2は Drude モデルを使って

 &math(
\varepsilon_3=\varepsilon_b\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega+i\gamma)}\right)
);

ただし、

 &math(\varepsilon_b\sim 15); はベースライン(background)となる高周波誘電率、

 &math(\omega_p=\sqrt{\frac{Ne^2}{\varepsilon_b\varepsilon_0m^*}}\sim 2\,\mathrm{THz}); はプラズマ周波数

 &math(N\sim 10^{16}); はキャリア密度

 &math(\gamma\sim 0.5\,\mathrm{THz}); は共振ピーク幅

&math(\omega_p/2\pi=2, \gamma\sim 0.5,\varepsilon_b=1); としてグラフ化してみると次のようになる。

&attachref(drude-amplitude.svg);

&attachref(drude-phase.svg);

以上を代入すると、

 &math(
&r_{12}^p=\frac{k_{2z}-k_{1z}/\varepsilon_1}{k_{2z}+k_{1z}/\varepsilon_1}\\
&r_{12}^s=\frac{k_{1z}-k_{jz}}{k_{iz}+k_{jz}}\\
&r_{23}^p=\frac{k_{3z}/\varepsilon_3-k_{2z}}{k_{3z}/\varepsilon_3+k_{2z}}\\
&r_{23}^s=\frac{k_{2z}-k_{3z}}{k_{2z}+k_{3z}}\\
);

さて、電磁波の周期を &math(T);、波長を &math(\lambda);、速度を &math(v);、光速を &math(c);、
屈折率を &math(n); とすると、

 &math(\omega=2\pi/T);

 &math(\lambda=vT);

 &math(k=2\pi/\lambda);

 &math(v=c/n);

 &math(n=\sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{\varepsilon_0\mu_0}});

より、

 &math(k^2=(2\pi)^2/(v^2T^2)=\omega^2n^2/c^2=\varepsilon\omega^2/c^2);

である。このような系ではすべての領域で &math(k_x); は共通になるため、

 &math(k_{iz}^2=k_i^2-k_x^2=\varepsilon\omega^2/c^2-k_x^2);
 &math(k_{iz}=\sqrt{k_i^2-k_x^2}=\sqrt{\varepsilon\omega^2/c^2-k_x^2});

そして、

 &math(\eta_{iz}=\sqrt{k_x^2-\varepsilon\omega^2/c^2});

と書ける。ただし、領域 1 における入射角を &math(\theta_1); とすると、

 &math(k_x=k_1\sin\theta_1=\frac{n\omega}{c}\sin\theta_1);

である。

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