線形代数I/内積 の変更点
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[[線形代数I]] #contents &katex; 培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。 (カリキュラムと教科書との間のギャップを調整中の内容です) * 実数ベクトルの標準内積 [#p13a5776] &math(\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix});, &math(\bm b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n); に対して、その標準内積を &math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n=\sum_{i=1}^na_ib_i); として定義する。 * 実数ベクトルの内積の性質 [#vaef810c] 標準内積について以下の性質を容易に確かめられる。 + &math((\bm a,\bm b)=(\bm b,\bm a)); + &math((\bm a+\bm b,\bm c)=(\bm a,\bm c)+(\bm b,\bm c)); + &math((k\bm a,\bm b)=k(\bm a,\bm b)); + &math((\bm a,\bm a)\ge 0); かつ &math((\bm a,\bm a)=0);⇔&math(\bm a=\bm o); 数学的にはこの4つの性質を持つような任意の演算を「内積」と考えてよい。~ すなわち、内積の定義の仕方には標準内積以外にも様々な物がある。 例:$\displaystyle(\bm a,\bm b)=a_1b_1+2a_2b_2+\dots+na_nb_n=\sum_{k=1}^nka_kb_k$ も内積を定義する。 例:すぐには分かりにくいが、2次のベクトルに対して、~ &math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+2a_2b_2); を内積とするベクトル空間があってもよい。 (確かめてみよ) 以下の話は上記4つの性質のみを使って定義・証明可能であるから、 「任意の内積」について成立する。 内積の定義されたベクトル空間を「内積空間」あるいは「計量空間」と呼ぶ。 (複素数ベクトルの内積については後に学ぶ) * ベクトルのノルム [#zbc3a037] 内積の持つ性質 &math((\bm a,\bm a)\ge 0); より、任意の &math(\bm a); に対して &math(\|\bm a\|=\sqrt{(\bm a,\bm a)}\ge 0); を定義できる。これを &math(\bm a); のノルム(長さ・大きさ)と呼ぶ。 内積の定義より、&math(\bm a=\bm o); の時のみ &math(\|\bm a\|=0); となる。 ● &math(\|\bm a\|^2=(\bm a,\bm a)); の書き換えは頻出するので覚えておくように。 * シュワルツ (Schwartz) の不等式 [#m7966132] &math(|(\bm a,\bm b)|\le\|\bm a\|\|\bm b\|); 内積の絶対値は常にノルムの積以下である (証明) &math(\|t\bm a+\bm b\|^2); &math(=(t\bm a+\bm b,t\bm a+\bm b)); &math(=(\bm a,\bm a)t^2+(\bm a,\bm b)t+(\bm b,\bm a)t+(\bm b,\bm b)); &math(=\|\bm a\|^2t^2+2(\bm a,\bm b)t+\|\bm b\|^2\ge 0); この2次式が &math(t); の値に依らず負にならないためには、 判別式が負でなければならないから、 &math((\bm b,\bm a)^2-\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2\le 0); &math((\bm b,\bm a)^2\le\|\bm a\|^2\|\bm b\|^2); 両者の正の平方根を取れば、 &math(|(\bm a,\bm b)|\le\|\bm a\|\|\bm b\|); 与式を得る。 ** 三角不等式 [#he02d623] &math(\|\bm a+\bm b\|\le\|\bm a\|+\|\bm b\|); 三角形の一辺は他の二辺の和より短い (証明) &math(\|\bm a+\bm b\|^2=(\bm a+\bm b,\bm a+\bm b)); &math(=\|\bm a\|^2+2(\bm b,\bm a)+\|\bm b\|^2); &math(<\|\bm a\|^2+2|(\bm b,\bm a)|+\|\bm b\|^2); &math(<\|\bm a\|^2+2\|\bm a\|\|\bm b\|+\|\bm b\|^2); &math(=\left(\|\bm a\|+\|\bm b\|\right)^2); 両辺とも正なので、平方根を取れば与式を得る。 * ベクトルの為す角 [#j0250396] &math(\bm a,\bm b); が共にゼロでないとき、シュワルツの不等式より &math(-1\le\frac{(\bm a,\bm b)}{\|\bm a\|\|\bm b\|}\le1); したがって、 &math(\frac{(\bm a,\bm b)}{\|\bm a\|\|\bm b\|}=\cos \theta); すなわち &math((\bm a,\bm b)=\|\bm a\|\|\bm b\|\cos \theta); を満たす &math(\theta); ただし &math(0\le\theta\le\pi); がただ一つ決まる。 この &math(\theta); を &math(\bm a,\bm b); の「為す角」と呼ぶ。 - ここまで、内積によりベクトルの長さと角度が定義されることが分かった~ (ベクトルの長さや角度は内積の定義に依存して決まる) * ベクトルの直交 [#v83096b5] &math(\cos \left(\pi/2\right)=0); より、 &math(\theta=\pi/2=90^\circ); のときに「内積がゼロ」になる そこで、&math((\bm a,\bm b)=0); であることを 「&math(\bm a,\bm b); が直交する」と言う。 実は、&math(\bm a,\bm b); の一方または両方がゼロの時もやはり &math((\bm a,\bm b)=0); となるが、&math(\theta); は定まらない。 だが、この場合も含めて「直交」を定義する。 &math((\bm a,\bm b)=0); ⇔ &math(\bm a \perp \bm b); すなわち、ゼロベクトル &math(\bm o); は全てのベクトルに直交する。 * 正規化ベクトル [#de37b9ae] 正規ベクトル: ノルムが1のベクトルのこと ゼロでない任意のベクトル &math(\bm a); に対して、 &math(\frac{1}{\|\bm a\|}\bm a); としてノルムを1にする操作を 「正規化」と呼ぶ。 * 正規直交系 [#ude8ebc8] ベクトル &math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); が正規直交系である、とは - 正規:すべてのベクトルのノルムが1である &math(\|\bm a_i\|=1); すなわち &math((\bm a_i,\bm a_i)=1); - 直交:ベクトルは互いに直交する &math(i\ne j\rightarrow(\bm a_i,\bm a_j)=0); の条件を満たすこと。 - 条件はまとめて &math((\bm a_i,\bm a_j)=\delta_{ij}); と書ける。 - 基本ベクトル &math(\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n); は正規直交系である ** 正規直交系は一次独立である [#m48703a3] &math(\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n); が正規直交系であるとき、 &math(\sum_{k=1}^nc_k\bm a_k=\bm o); が成り立つとすると、両辺と &math(\bm a_i); との内積を取ることで、 &math((\bm a_i,\sum_{k=1}^nc_k\bm a_k)); &math(=\sum_{k=1}^nc_k(\bm a_i,\bm a_k)); &math(=\sum_{k=1}^nc_k\delta_{ik}); &math(=c_i=(\bm a_i,\bm o)=0); したがって、すべての &math(i); について &math(c_i=0); となることが導かれる。 ** 成分の導出 [#f4426604] 同様にして、基本ベクトル &math(\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n); は正規直交系であるから、 &math(\bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\sum_{k=1}^nx_k\bm e_k); のとき、&math(\bm x); と &math(\bm e_k); との内積を取ることにより、 &math((\bm e_i,\bm x)); &math(=\sum_{k=1}^nx_k(\bm e_i,\bm e_k)); &math(=\sum_{k=1}^nx_k\delta_{ik}); &math(=x_i); として &math(\bm e_i); 方向の成分を求めることができる。 すなわち、任意の &math(\bm x); について、 &math(\bm x=\sum_{k=1}^n(\bm e_k,\bm x)\bm e_k); が成り立つ(結構重要)。 * グラム・シュミットの直交化法 [#i789773f] [[線形代数I/要点/(グラム)シュミットの直交化法]] * 直交変換 [#kde39428] 任意の $n$ 次実数ベクトル &math(\bm x,\bm y); に対して、 任意の $n$ 次元実数ベクトル &math(\bm x,\bm y); に対して、 &math((f(\bm x),f(\bm y))=(\bm x,\bm y)); ← 内積の値を保存する を満たす一次変換 &math(f(\bm x)\ :\ \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n); を直交変換と呼ぶ。(なぜ直交?の答えは後ほど) - 直交変換は &math(\|f(\bm x)\|=\|\bm x\|); を満たす。← ノルムを保存する~ (定義より、ほぼ明らか)~ こちらを直交変換の定義とする場合もある(同値な条件であるため) 練習: &math(\|f(\bm x)\|=\|\bm x\|); から &math((f(\bm x),f(\bm y))=(\bm x,\bm y)); を導こう。 (証明) 条件より &math(\|f(\bm x-\bm y)\|=\|\bm x-\bm y\|); (左辺)^^2^^ &math(=\|f(\bm x)-f(\bm y)\|^2); &math(=\|f(\bm x)\|^2-2(f(\bm x),f(\bm y))+\|f(\bm y)\|^2); &math(=\|\bm x\|^2-2(f(\bm x),f(\bm y))+\|\bm y\|^2); (右辺)^^2^^ &math(=\|\bm x\|^2-2(\bm x,\bm y)+\|\bm y\|^2); したがって、&math((f(\bm x),f(\bm y))=(\bm x,\bm y)); ** 合同変換 [#v63bd062] 直交変換はすべてのベクトルの長さを保つから、それはすなわち「合同変換」である。~ 合同変換 = 回転 ( + 反転 ) ∵三角形の3辺の長さが等しければ合同であったのを思い出そう。 * R^^n^^ にて標準内積を取る場合 [#ic301bf7] &math(\|\bm a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}); である。 また、 &math((\bm a,\bm b)=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\dots\\b_n\end{bmatrix}=\transpose \bm a\bm b); と書けるから、 &math((\bm a,A\bm b)=\transpose \bm a(A\bm b)=\transpose (\transpose \,A\bm a)\bm b=(\transpose A\bm a,\bm b)); したがって、&math(A); が対称行列 &math(\transpose A=A); の時に限り、 &math((\bm a,A\bm b)=(A\bm a,\bm b)); が成り立つ。 ** 直交行列 [#u25e29f3] 標準内積を用いた場合、直交変換の標準行列 &math(R); は任意の &math(\bm a,\bm b); に対して、 &math((R\bm a,R\bm b)=(\bm a,\transpose R R\bm b)=(\bm a,\bm b)); を満たす。したがって、2つの基本ベクトルに対しても &math((\bm e_i,\transpose R R\bm e_j)=(\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}); となるが、この左辺は行列 &math(\transpose R R); の (i,j) 成分に等しい。 すなわち、 &math(\transpose R R=[\delta_{ij}]=I); であり、&math(R); は &math(\transpose R=R^{-1}); を満たす。 この条件を満たす &math(R); を直交行列と呼ぶ。 - 直交変換の表現行列は直交行列である ** なぜ直交? [#w75c4a00] 直交行列の列ベクトル分解を &math(R=\Bigg[\bm r_1\ \bm r_2\ \dots\ \bm r_n\Bigg]); と書くと、 &math(\transpose R R=\begin{bmatrix}\hspace{5mm}\transpose\bm r_1\hspace{5mm}\\ \transpose\bm r_2\\ \vdots\\ \transpose\bm r_n\end{bmatrix}\Bigg[\bm r_1\ \bm r_2\ \dots\ \bm r_n\Bigg]=\left[\left(\bm r_i,\bm r_j\right)\right]=[\delta_{ij}]=I); すなわち、直交行列の列ベクトルは''正規直交系''を為す。 - 同様に、行ベクトルも正規直交系を為す これが直交変換、直交行列の語源である。 以下の条件はすべて同値である。 - 直交行列 - &math(R^{-1}=\transpose R); - 行ベクトルが正規直交系 - 列ベクトルが正規直交系 * (発展)標準内積が標準と呼ばれるわけ [#o1f07d04] ** 一般の内積 [#j8a75fcf] 任意の内積に対して、 - ノルム - 為す角 - 直交 が定義される。 すなわち、任意の内積に対して正規直交系を定義可能である。 ** 正規直交基底における内積の成分表示 [#f2cf718d] &math(\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n); を正規直交基底として、 成分表示を用いて &math(\bm x=\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i);、 &math(\bm y=\sum_{i=1}^ny_i\bm e_i); と表す。 このとき、 &math((\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_j(\bm e_i,\bm e_j)); &math(=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_j\delta_{ij}); &math(=\sum_{i=1}^nx_iy_i); となる。 すなわち、任意に定義した内積について、 正規直交基底で成分表示した場合に 内積を成分に対する標準内積で求められる。 これが標準内積が標準と呼ばれる理由である。 * コメント [#p817b8d6] #article_kcaptcha **無題 [#iea56735] >[[ななし]] (&timetag(2021-09-30T20:52:58+09:00, 2021-10-01 (金) 05:52:58);)~ ~ いつもお世話になっています。~ ~ 間違えてたらすみません、「成分の導出」の中の下記の式、~ &math(\bm x=\sum_{k=1}^n(\bm e_i,\bm x)\bm e_k);~ は~ &math(\bm x=\sum_{k=1}^n(\bm e_k,\bm x)\bm e_k);~ ではないでしょうか?~ // - ご指摘ありがとうございます、おっしゃる通りでした。修正いたしました。 -- [[武内(管理人)]] &new{2021-10-01 (金) 08:24:22}; #comment_kcaptcha
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