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* 定理2.10 [#mc609ae5] 線形写像が1対1であることと、その核がゼロベクトルのみを含むこと、 すなわち &math(\text{Ker}\,\phi=\{\bm{o}\}); とは同値である。 * 証明1(教科書のもの) [#u6101a15] まず線形写像の核は必ずゼロベクトルを含むことを示す。 なぜならベクトルと線形写像の性質から、 &math(\phi(\bm{x})=\phi(\bm{x}+\bm{o})= \phi(\bm{x})+\phi(\bm{o}));~ であるが、両辺に &math(-\phi(\bm{x})); を加えると、 &math(\phi(\bm{o})=\bm{o}); つまり、&math(\bm{o} \in \text{Ker}\,\phi); となる。 ところが、&math(\phi); が1対1写像であれば &math(\bm{x} \ne \bm{o}); は &math(\phi(\bm{x}) \ne \phi(\bm{o}) = \bm{o}); を意味するので、 &math(\text{Ker}\,\phi); はゼロベクトル以外の要素を含まない。 逆に、&math(\text{Ker}\,\phi=\{\bm{o}\}); であるとすると、 &math(\phi(\bm{x}_1)=\phi(\bm{x}_2)); を変形して~ &math(\phi(\bm{x}_1)-\phi(\bm{x}_2)=\bm{o});~ &math(\phi(\bm{x}_1-\bm{x}_2)=\bm{o}); より、 &math(\bm{x}_1-\bm{x}_2=\bm{o}); すなわち~ &math(\bm{x}_1=\bm{x}_2); を導くことができ、この対偶として &math(\phi); が1対1写像であること が示される。 * 証明2 [#m9af40ad] 線形写像 &math(\phi); が1対1である の定義は &math(\bm{x}_1 \ne \bm{x}_2); であるような &math(\bm{x}_1 \ne \bm{x}_2); について &math( \phi(\bm{x}_1) \ne \phi(\bm{x}_2)); である ということであった。これを数学的に書けば &math(\bm{x}_1 \ne \bm{x}_2 \to \phi(\bm{x}_1) \ne \phi(\bm{x}_2)); となるが、これの対偶は &math(\phi(\bm{x}_1) = \phi(\bm{x}_2) \to \bm{x}_1 = \bm{x}_2); である。 さらに両辺を変形すると、 &math(\phi(\bm{x}_1-\bm{x}_2)=\bm{o} \to \bm{x}_1 - \bm{x}_2=\bm{o}); &math(\bm{z}=\bm{x}_1 - \bm{x}_2); と置けば、 &math(\phi(\bm{z})=\bm{o} \to \bm{z}=\bm{o}); であり、これは &math(\text{Ker}\,\phi=\{\bm{o}\}); と同値である。 これは &math(\text{Ker}\,\phi=\{\bm{o}\}); と同値である。 途中の変形はすべて同値変形であるから、定理は証明された。
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